Знакомая ситуация?
«Товар сначала подорожал на 20%, а потом подешевел на 20%. Вернулся ли он к исходной цене?»
Ребенок (да и многие взрослые) уверен: «Да, конечно! 20% туда, 20% обратно — вернулся».
И тут — бац! — правильный ответ: «Нет, стал дешевле».
Почему? Потому что проценты считаются от РАЗНЫХ чисел. Первый раз 20% от исходной цены, второй раз — уже от большей или меньшей.
Сегодня разберем все типы задач на подорожание и удешевление. Самые коварные, самые частые на ВПР и в жизни. Поехали! 🚀
Часть 1. Главная ловушка: проценты нельзя складывать ⚠️
Это самое важное правило всей темы.
Пример-ловушка
Товар стоил 100 рублей. Сначала подорожал на 10%, потом еще на 10%. На сколько процентов подорожал товар?
❌ Многие думают: 10% + 10% = 20%. Значит, стал стоить 120 рублей.
✅ Правильно: 100 → 110 (после первого подорожания). Второе подорожание — 10% от 110 = 11 рублей. Итог: 121 рубль. Подорожание на 21%!
📌 Золотое правило: Проценты считаются от ТЕКУЩЕЙ цены, а не от исходной. Поэтому складывать проценты нельзя.
Почему это важно в жизни?
- Инфляция 10% два года подряд — это не 20%, а 21% (вклады, кредиты)
- Скидка 20%, потом еще 10% — это не 30%, а 28% (магазины этим пользуются)
- Уровень сложности задач на ВПР — именно на это знание
Часть 2. Формулы для решения (два главных случая) 📐
Случай 1. Подорожание на p%
Новая цена = Исходная × (1 + p/100)
Пример: Товар стоил 200 рублей, подорожал на 15%. Новая цена = 200 × (1 + 15/100) = 200 × 1,15 = 230 рублей.
Случай 2. Удешевление (скидка) на p%
Новая цена = Исходная × (1 − p/100)
Пример: Товар стоил 200 рублей, скидка 15%. Новая цена = 200 × (1 − 15/100) = 200 × 0,85 = 170 рублей.
Последовательные изменения
Если товар подорожал на p%, а потом на q%:
- Новая цена = Исходная × (1 + p/100) × (1 + q/100)
Если подорожал на p%, а потом подешевел на q%:
- Новая цена = Исходная × (1 + p/100) × (1 − q/100)
📌 Запомните: Множители перемножаются. Никакого сложения процентов!
Часть 3. Как вернуться к исходной цене (обратная задача) 🔄
Если товар подорожал на p%, то чтобы вернуть прежнюю цену, нужно подешеветь НЕ на p%.
Пример
Товар стоил 100 рублей, подорожал на 25%. Стал стоить 125 рублей. На сколько процентов надо подешеветь, чтобы вернуть 100 рублей?
Решение:
- Снижение = (125 − 100) / 125 × 100% = 25 / 125 × 100% = 20%
📌 Вывод: Подорожание на 25% компенсируется удешевлением на 20%. И наоборот: скидка 20% требует подорожания на 25% для возврата.
Формула для обратного процента
Если товар подорожал на p%, то чтобы вернуть исходную цену, нужна скидка в:
q = p / (1 + p/100) × 100%
Или проще: подорожание на 25% → нужна скидка 20% (запомните эту пару).
Другие пары:
- Подорожание на 50% → скидка 33⅓%
- Подорожание на 100% → скидка 50%
- Скидка 20% → нужно подорожание на 25%
Часть 4. Типы задач (от простых к сложным) 📚
Тип 1. Одно действие (разминка)
Задача 1. Товар стоил 500 рублей. Подорожал на 20%. Сколько стал стоить?
Решение: 500 × 1,2 = 600 рублей
Задача 2. Товар стоил 800 рублей. Скидка 15%. Сколько стал стоить?
Решение: 800 × 0,85 = 680 рублей
Тип 2. Два последовательных изменения (самые частые)
Задача 3. Товар стоил 200 рублей. Сначала подорожал на 10%, потом подешевел на 10%. Сколько стал стоить?
Решение:
- После подорожания: 200 × 1,1 = 220
- После удешевления: 220 × 0,9 = 198 рублей
📌 Ответ: не вернулся к 200, а стал дешевле на 2 рубля.
Задача 4. Товар стоил 1000 рублей. Сначала скидка 30%, потом еще скидка 20%. Сколько стал стоить?
Решение:
- После первой скидки: 1000 × 0,7 = 700
- После второй: 700 × 0,8 = 560 рублей
📌 Общая скидка: не 50%, а 44% (с 1000 до 560).
Тип 3. Нужно найти общий процент изменения
Задача 5. Товар подорожал на 20%, потом еще на 30%. На сколько процентов подорожал в итоге?
Решение:
- Множитель: 1,2 × 1,3 = 1,56
- Итоговое подорожание: 56% (1,56 − 1 = 0,56)
Задача 6. Товар подорожал на 20%, потом подешевел на 20%. На сколько изменилась цена?
Решение:
- Множитель: 1,2 × 0,8 = 0,96
- Итоговое изменение: −4% (подешевел на 4%)
Тип 4. Обратная задача (найти исходную цену)
Задача 7. После подорожания на 25% товар стал стоить 500 рублей. Сколько стоил сначала?
Решение:
- 500 — это 125% от исходной
- Исходная = 500 × (1 / 1,25) = 500 × 0,8 = 400 рублей
Задача 8. После двух скидок (20% и 10%) товар стал стоить 720 рублей. Сколько стоил сначала?
Решение:
- Общий множитель: 0,8 × 0,9 = 0,72
- Исходная = 720 / 0,72 = 1000 рублей
Тип 5. Найти процент скидки или подорожания (сложный)
Задача 9. Товар стоил 300 рублей. После двух подорожаний стал стоить 363 рубля. На сколько процентов подорожал каждый раз, если оба раза на одинаковый процент?
Решение:
- Пусть множитель = m. Тогда 300 × m² = 363
- m² = 363 / 300 = 1,21
- m = 1,1 (так как 1,1² = 1,21)
- Значит, каждый раз подорожание на 10%
Часть 5. Жизненные примеры 🛒
Пример 1. Скидки в магазине
«На товар сначала сделали скидку 10%, а потом еще 20%. Можно ли сказать, что скидка составила 30%?»
Нет! Если товар стоил 1000 рублей:
- После первой скидки: 900 рублей
- После второй: 900 × 0,8 = 720 рублей
- Общая скидка: 28% (не 30%)
📌 Магазины этим пользуются: пишут «скидка 10% + 20%», а по факту — 28%.
Пример 2. Инфляция
«В первый год инфляция была 10%, во второй — 10%. На сколько выросли цены за два года?»
Не на 20%, а на 21%. Если хлеб стоил 100 рублей:
- Через год: 110 рублей
- Через два года: 121 рубль
Пример 3. Акции «купи 2, получи 3-й в подарок»
Это скидка 33⅓% (заплатил за 2, получил 3). Но если потом добавить еще скидку 20% — будет хитрое переплетение.
Часть 6. Типичные ошибки и как их избежать ❌➡️✅
Ошибка 1. Складываю проценты
❌ «Подорожание на 20%, потом на 30% = всего на 50%»
✅ Перемножаю множители: 1,2 × 1,3 = 1,56 → подорожание на 56%
Как запомнить: «Проценты не складываются, они умножаются».
Ошибка 2. Путаю, от чего брать процент
❌ «Скидка 20% от исходной, потом еще 20% от исходной»
✅ Вторая скидка считается от ТЕКУЩЕЙ, а не от исходной цены
Как запомнить: «Каждый раз процент берется от того, что есть сейчас».
Ошибка 3. Думаю, что подорожание на p% и скидка на p% возвращают исходную цену
❌ «Было 100, подорожало на 20% (стало 120), подешевело на 20% (стало 100)»
✅ 120 × 0,8 = 96 (не 100!)
Как запомнить: «Подорожание на p%, потом скидка на p% — это всегда УБЫТОК».
Ошибка 4. Неправильно считаю множитель
❌ 15% → умножить на 0,15 (это самая частая ошибка!)
✅ Подорожание на 15% → умножить на 1,15. Скидка 15% → умножить на 0,85.
Как запомнить: «Исходная цена — это 100%, или 1. Прибавил проценты — больше 1. Отнял — меньше 1».
Часть 7. Задачи для тренировки (с ответами) 🧠
Задача А. Товар стоил 400 рублей. Сначала подорожал на 25%, потом подешевел на 20%. Сколько стал стоить?
Решение:
- 400 × 1,25 = 500
- 500 × 0,8 = 400
- Вернулся к исходной цене!
📌 Интересный факт: 25% и 20% — это компенсирующие проценты.
Задача Б. Товар сначала подешевел на 10%, потом подорожал на 10%. Сколько стал стоить, если исходная цена 500 рублей?
Решение:
- 500 × 0,9 = 450
- 450 × 1,1 = 495
- Стал дешевле на 5 рублей (1%)
Задача В. Товар подорожал на 50%, потом подешевел на 40%. На сколько процентов изменилась цена?
Решение:
- Множитель: 1,5 × 0,6 = 0,9
- Изменение: −10% (подешевел на 10%)
Задача Г. Товар стоил 2000 рублей. Сначала скидка 30%, потом еще скидка 10%. Сколько стал стоить?
Решение:
- 2000 × 0,7 = 1400
- 1400 × 0,9 = 1260 рублей
Задача Д. После подорожания на 20% и еще на 10% товар стал стоить 528 рублей. Сколько стоил сначала?
Решение:
- Общий множитель: 1,2 × 1,1 = 1,32
- Исходная = 528 / 1,32 = 400 рублей
Итог
Задачи на подорожание и удешевление — одни из самых частых на ВПР и в жизни. Главное — понять:
- Проценты нельзя складывать. Каждое изменение считается от новой цены.
- Множители перемножаются. Запомните формулу: новая цена = старая × (1 ± p/100) × (1 ± q/100).
- Подорожание на p%, потом скидка на p% — это всегда убыток. Цена не возвращается к исходной.
- Если подорожание на 25%, то чтобы вернуть старую цену, нужна скидка 20%. И наоборот.
Тренируйтесь на задачах, и через пару недель ребенок будет щелкать их как орешки. 😊
А у вашего ребенка были ошибки в таких задачах? Какие проценты путает чаще всего? Делитесь в комментариях! 👇😊
👇 Записывайтесь на летние онлайн занятия по математике для 1-9 класса. Индивидуально.👇