Условие задачи
Вклад планируется положить на пять лет, он составляет целое число сотен тысяч рублей.
В конце каждого года вклад увеличивается на 20% по сравнению с его размером в начале года.
Кроме этого, в начале четвёртого и пятого годов вклад ежегодно пополняется на 100 тысяч рублей.
Найдите наибольший размер первоначального вклада (в рублях), при котором через 5 лет он будет меньше 800 тысяч рублей.
Тип задачи
Это задача на вклад с ежегодной капитализацией процентов и дополнительными пополнениями в середине срока. Пополнения происходят до начисления процентов за соответствующий год.
Введём обозначения
- S — начальная сумма вклада (в сотнях тысяч рублей), целое число.
- Процентная ставка: 20% → в конце каждого года сумма умножается на (1 + 20/100) = 1,2.
- Пополнение в начале 4-го и 5-го года: 100 тысяч рублей = 1 (в сотнях тысяч рублей).
Изменение суммы по годам (построчно)
Год 1
- Сумма на начало года: S
- Пополнение: 0
- Сумма после пополнения: S
- В конце года вклад увеличивается на 20%. Увеличение на 20% означает, что сумма умножается на 1,2.
- Сумма на конец года: 1,2·S
Год 2
- Сумма на начало года: 1,2·S
- Пополнение: 0
- Сумма после пополнения: 1,2·S
- Начисление процентов: умножаем на 1,2 → 1,2·S·1,2 = 1,2²·S
- Сумма на конец года: 1,2²·S
Год 3
- Сумма на начало года: 1,2²·S
- Пополнение: 0
- Сумма после пополнения: 1,2²·S
- Начисление процентов: умножаем на 1,2 → 1,2²·S·1,2 = 1,2³·S
- Сумма на конец года: 1,2³·S
Год 4
- Сумма на начало года: 1,2³·S
- Пополнение: 1 (сотня тысяч рублей)
- Сумма после пополнения: 1,2³·S + 1
- Начисление процентов: умножаем на 1,2 → (1,2³·S + 1)·1,2 = 1,2⁴·S + 1,2
- Сумма на конец года: 1,2⁴·S + 1,2
Год 5
- Сумма на начало года: 1,2⁴·S + 1,2
- Пополнение: 1
- Сумма после пополнения: 1,2⁴·S + 1,2 + 1 = 1,2⁴·S + 2,2
- Начисление процентов: умножаем на 1,2 → (1,2⁴·S + 2,2)·1,2 = 1,2⁵·S + 2,64
- Сумма на конец года: 1,2⁵·S + 2,64
Условие задачи (в рублях)
Через 5 лет сумма должна быть меньше 800 тысяч рублей.
Переведём в сотни тысяч рублей: 800 тыс. руб. = 8 (сотен тысяч рублей).
Получаем неравенство:
1,2⁵·S + 2,64 < 8
Вычисляем
1,2⁵·S < 8 − 2,64 = 5,36
S < 5,36 / (1,2·1,2·1,2·1,2·1,2)
Умножим числитель и знаменатель на 100000, чтобы избавиться от десятичных дробей:
S < (5,36·100000) / (12·12·12·12·12) = 536000 / 248832
Сокращаем на 8:
S < 67000 / 31104
Выделим целую часть: 67000 : 31104 = 2 целых 599/3888
Таким образом, S < 2 целых 599/3888
S — целое число сотен тысяч рублей, значит, наибольшее возможное S = 2.
Это соответствует 200 000 рублей.
Ответ
✅ 200 000 рублей.
Что важно запомнить из этой задачи
🔹 Проценты начисляются на сумму после пополнения (если пополнение было в начале года).
🔹 Увеличение на 20% означает умножение на 1,2.
🔹 Для избавления от десятичных дробей удобно умножить числитель и знаменатель на 10⁵.
🔹 В конце обязательно выделить целую часть, так как S — целое число сотен тысяч рублей.
#егэ2026 #задание16 #вклады #капитализация #проценты #математикаегэ #профильнаяматематика #репетиторпоматематике #экономическаязадача #финансоваяматематика #подготовкакегэ #разборегэ #егэпрофиль #кредитыивклады #онлайнрепетитор #егэ11класс #егэматематика #профильныйегэ #задачанавклад #процентнаяставка #пополнениевклада #вкладна5лет #наибольшийвклад #800тысяч #математика #алгебра #репетитор
