Условие задачи (Дальний Восток, 2026)
В июле 2028 года планируется взять кредит в банке на 40 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 25% меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2032 года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 61,875 млн рублей.
Найдите r.
Тип задачи
Это комбинированная задача, где долг в июле каждого года (кроме последнего) уменьшается на фиксированный процент (25%), а проценты начисляются в январе. В последний год — полное погашение. Такие задачи встречаются в ЕГЭ по математике (профиль) под номером 16.
Введём обозначения
- S = 40 млн рублей — начальная сумма кредита (июль 2028)
- k = 1 + r/100 — коэффициент повышения долга в январе (начисление процентов)
Коэффициент уменьшения долга в июле
По условию, в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 25% меньше, чем в июле предыдущего года.
Если долг уменьшается на 25%, то новый долг составляет:
100% − 25% = 75% = 0,75 от старого.
Обозначим этот коэффициент буквой y:
y = 0,75 — коэффициент уменьшения долга в июле.
Долг в июле каждого года
- В июле 2028 года долг равен S (40 млн рублей).
- В июле 2029 года долг становится S·y
- В июле 2030 года долг становится S·y²
- В июле 2031 года долг становится S·y³
- В июле 2032 года долг равен 0 (кредит полностью погашен).
Выплаты по годам
Выплата в каждом году считается так: берём долг на начало года, умножаем его на k (это начисление процентов в январе), затем вычитаем долг на конец года.
- Выплата в 2029 году: S · k − S · y = S·(k − y)
- Выплата в 2030 году: S · y · k − S · y² = S · y · (k − y)
- Выплата в 2031 году: S · y² · k − S · y³ = S · y²·(k − y)
- Выплата в 2032 году: S · y³ · k − 0 = S · y³ · k
Общая сумма выплат
Складываем все выплаты:
S · (k − y) + S · y · (k − y) + S · y²·(k − y) + S · y³ · k
Выносим общие множители за скобки:
(S + S · y + S · y²) · (k − y) + S · y³ · k
По условию, общая сумма выплат равна 61,875 млн рублей:
(S + S · y + S · y²)·(k − y) + S · y³ · k = 61,875
Подставляем y = 0,75, S = 40
Вычислим отдельные слагаемые:
- S = 40
- S · y = 40 · 0,75 = 30
- S · y² = 40 · 0,75² = 40 · 9/16 = 45/2
- S · y³ = 40 · 27/64 = 135/8
- 61,875 = 495/8
Сумма S + S · y + S · y² = 40 + 30 + 45/2 = 185/2
Подставляем в уравнение, получаем:
(185/2)·(k − 3/4) + (135/8)·k = 495/8
Упрощаем уравнение
Раскрываем скобки:
(185/2)·k − (185/2)·(3/4) + (135/8)·k = 495/8
(185/2)·k − 555/8 + (135/8)·k = 495/8
Умножаем всё на 8:
740k - 555 + 135k = 495
875k = 1050
k = 1050 / 875 = 1,2
Находим r
k = 1 + r/100 = 1,2
r/100 = 1,2 − 1 = 0,2
r = 0,2 × 100 = 20
Ответ: 20.
📌 Подписывайтесь на канал, чтобы не пропустить новые разборы заданий ЕГЭ по математике (профиль). Здесь вы найдёте подробные решения с пояснениями и образцами оформления на экзамене.
#егэ2026 #математикапрофиль #дальнийвосток #задание16 #кредитныезадачи #процентнаяставка #комбинированнаясхема #репетиторпоматематике #егэ11класс #подготовкакегэ #экономическаязадача #финансоваяматематика #кредит #проценты #разборегэ #егэпрофиль #математикаегэ #какнайтиr #кредитвбанке #задачанакредит #егэдальнийвосток #профильнаяматематика #егэ2026задание16 #репетитор #онлайнрепетитор #алгебра