Со школы нам известна теорема косинусов, которая записывается следующей формулой:
А что такое длина стороны с точки зрения векторов? Это его модуль. Значить теорему косинусов можно записать следующим образом в векторной форме:
ничто иное, как скалярное произведение двух векторов
Теперь давайте посмотрим на первые два члена право части формулы теоремы косинусов. Это ничто иное, как математическая запись теоремы Пифагора, которая гласит: сумма квадратов катетов в прямоугольном треугольнике равен квадрату его гипотенузы.
Отсюда можно сформулировать геометрический смысл скалярного произведения двух векторов:
Скалярное произведение двух векторов показывает на сколько квадрат третьей стороны треугольника отклонен от квадрата гипотенузы прямоугольного треугольника, катеты которого раны двум другим сторонам этого же треугольника.
Давайте запишем теорему косинусов в координатах векторов. Пусть вектор A имеет в декартовых координатах имеет координаты (ax, ay); B – (bx, by) и С – (сx, cy)
Но из нашей формулировки геометрического смысла скалярного произведения можно записать следующее равенство:
или в координатах векторов
А скалярное произведение двух векторов равно:
Подставим полученные нами равенства в векторную форму теоремы косинусов:
Фактически мы получили выражение, как связаны все проекции всех сторон треугольника между собой. Не трудно увидеть, что тут два квадрата разности.
Отсюда можно сформулировать следующий вывод:
Квадрат третий стороны любого треугольника равен сумме квадратов разностей проекций двух других сторон на оси декартовой плоскости.
До скорых встреч