📌 Образец оформления решения на экзамене — на фото в конце статьи.
Если вы хотите посмотреть короткое, чистовое решение без подробных объяснений — сразу переходите в конец статьи.
Условие задачи
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 800 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года (r — целое число);
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2030 года долг должен составлять 200 тыс. руб.;
— в июле 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 1480 тысяч рублей.
Тип задачи
Это не аннуитет (где все платежи равны). И не стандартная дифференцированная схема (где основной долг уменьшается на одну и ту же сумму с первого и до последнего года).
Здесь схема двухэтапная:
- первые 5 лет долг в июле уменьшается на одну и ту же сумму (обозначим её x₁);
- следующие 5 лет — на другую сумму (обозначим её x₂).
При этом внутри каждого этапа уменьшение равномерное, а вот проценты начисляются каждый январь на весь оставшийся долг. Выплаты в разные годы получаются разными, потому что проценты начисляются на разный остаток.
Особенность этого типа задач: мы не знаем ни x₁, ни x₂, ни r. Но у нас есть три условия:
- В июле 2030 года долг составляет 200 тысяч рублей.
- Полное погашение через 10 лет.
- Общая сумма всех выплат равна 1480 тысяч рублей.
Из этих условий мы последовательно найдём x₁, затем x₂, затем k и r.
Введём обозначения
S = 800 тысяч рублей — первоначальная сумма долга.
x₁ — сумма, на которую уменьшается долг в июле каждого из первых пяти лет (2026, 2027, 2028, 2029, 2030).
x₂ — сумма, на которую уменьшается долг в июле каждого из вторых пяти лет (2031, 2032, 2033, 2034, 2035).
В условии сказано: «каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года».
Что значит «увеличивается на r%»? Это значит, что к старому долгу прибавляют r процентов от этого же долга.
Увеличение на r% равносильно умножению на (1 + r/100).
Чтобы не писать каждый раз громоздкое выражение (1 + r/100), введём одну букву, например k:
k = 1 + r/100 — коэффициент повышения долга в январе.
Как меняется долг в июле каждого года
В июле 2025 года долг = S тысяч рублей.
В июле 2026 года долг становится на x₁ меньше, чем в июле 2025:
S − x₁
В июле 2027 года долг становится на x₁ меньше, чем в июле 2026:
(S − x₁) − x₁ = S − x₁ − x₁ = S − 2x₁
В июле 2028 года:
(S − 2x₁) − x₁ = S − 3x₁
В июле 2029 года:
(S − 3x₁) − x₁ = S − 4x₁
В июле 2030 года:
(S − 4x₁) − x₁ = S − 5x₁
Теперь второй этап. В июле 2030 долг = S − 5x₁. Дальше каждый год уменьшается на x₂.
В июле 2031 года:
(S − 5x₁) − x₂ = S − 5x₁ − x₂
В июле 2032 года:
(S − 5x₁ − x₂) − x₂ = S − 5x₁ − 2x₂
В июле 2033 года:
(S − 5x₁ − 2x₂) − x₂ = S − 5x₁ − 3x₂
В июле 2034 года:
(S − 5x₁ − 3x₂) − x₂ = S − 5x₁ − 4x₂
В июле 2035 года:
(S − 5x₁ − 4x₂) − x₂ = S − 5x₁ − 5x₂
По условию, в июле 2035 долг полностью погашен, то есть равен нулю:
S − 5x₁ − 5x₂ = 0
Как заполняется таблица
Теперь заполним таблицу. В столбце «Долг на начало» будут те самые выражения, которые мы только что получили для каждого июля. В столбце «Долг на конец» — долг на начало следующего года (то есть тоже из наших выражений).
Выплата считается так: (долг на начало) · k − (долг на конец).
Первые пять лет (2026–2030), уменьшение на x₁
Строка 1. Период: июль 2025 — июнь 2026
Долг на начало периода (июль 2025) = S тысяч рублей. Это сумма кредита.
Долг после начисления процентов (январь 2026): долг увеличивается на r%, то есть умножается на k. Получаем S · k.
Долг на конец периода = долг на июль 2026: по условию, в июле 2026 долг должен быть на x₁ меньше, чем в июле 2025. То есть S − x₁.
Выплата = (долг после начисления процентов) − (долг на конец периода) = Sk − (S − x₁) = Sk − S + x₁.
Строка 2. Период: июль 2026 — июнь 2027
Долг на начало периода (июль 2026) = долг на конец предыдущего периода = S − x₁.
Долг после начисления процентов (январь 2027): умножаем на k → (S − x₁)k = Sk - x₁k.
Долг на конец периода = дол на июль 2027: в июле 2027 долг должен быть на x₁ меньше, чем в июле 2026. То есть (S − x₁) − x₁ = S − 2x₁.
Выплата = Sk - x₁k − (S − 2x₁) = Sk − x₁k − S + 2x₁.
Строка 3. Период: июль 2027 — июнь 2028
Долг на начало периода (июль 2027) = S − 2x₁.
Долг после начисления процентов = (S − 2x₁)k = Sk − 2x₁k.
Долг на конец периода = долг на июль 2028 = S − 2x₁ − x₁ = S − 3x₁.
Выплата = Sk − 2x₁k − (S − 3x₁) = Sk − 2x₁k − S + 3x₁.
Строка 4. Период: июль 2028 — июнь 2029
Долг на начало периода (июль 2028) = S − 3x₁.
Долг после начисления процентов = (S − 3x₁) · k = Sk − 3x₁k.
Долг на конец периода = долг на июль 2029 = (S − 3x₁) − x₁ = S − 4x₁.
Выплата = Sk − 3x₁k − (S − 4x₁) = Sk − 3x₁k − S + 4x₁.
Строка 5. Период: июль 2029 — июнь 2030
Долг на начало периода (июль 2029) = S − 4x₁.
Долг после начисления процентов = (S − 4x₁) · k = Sk − 4x₁k.
Долг на конец = долг на июль 2030 = (S − 4x₁) − x₁ = S − 5x₁.
Выплата = (S − 4x₁)k − (S − 5x₁) = Sk − 4x₁k − S + 5x₁.
Вторые пять лет (2031–2035), уменьшение на x₂
Строка 6. Период: июль 2030 — июнь 2031
Долг на начало периода (июль 2030) = S − 5x₁ (это долг на конец предыдущего периода, то есть июль 2030).
Долг после начисления процентов (январь 2031) = (S − 5x₁) · k = Sk − 5x₁k.
Долг на конец периода = долг на июль 2031: по условию, в июле 2031 долг должен быть на x₂ меньше, чем в июле 2030.
То есть (S − 5x₁) − x₂ = S − 5x₁ − x₂.
Выплата = Sk − 5x₁k − (S − 5x₁ − x₂) = Sk − 5x₁k − S + 5x₁ + x₂.
Строка 7. Период: июль 2031 — июнь 2032
Долг на начало периода (июль 2031) = S − 5x₁ − x₂.
Долг после начисления процентов = (S − 5x₁ − x₂) · k = Sk − 5x₁k − x₂ k.
Долг на конец периода = долг на июль 2032 = (S − 5x₁ − x₂) − x₂ = S − 5x₁ − 2x₂.
Выплата = Sk − 5x₁k − x₂ k − (S − 5x₁ − 2x₂) = Sk − 5x₁k − x₂k − S + 5x₁ + 2x₂.
Строка 8. Период: июль 2032 — июнь 2033
Долг на начало периода (июль 2032) = S − 5x₁ − 2x₂.
Долг после начисления процентов = (S − 5x₁ − 2x₂) · k = Sk − 5x₁k − 2x₂k.
Долг на конец периода = долг на июль 2033 = (S − 5x₁ − 2x₂) − x₂ = S − 5x₁ − 3x₂.
Выплата = Sk − 5x₁k − 2x₂k − (S − 5x₁ − 3x₂) = Sk − 5x₁k − 2x₂k − S + 5x₁ + 3x₂.
Строка 9. Период: июль 2033 — июнь 2034
Долг на начало периода (июль 2033) = S − 5x₁ − 3x₂.
Долг после начисления процентов = (S − 5x₁ − 3x₂) · k = Sk − 5x₁k − 3x₂k.
Долг на конец периода = долг на июль 2034 = (S − 5x₁ − 3x₂) − x₂ = S − 5x₁ − 4x₂.
Выплата = Sk − 5x₁k − 3x₂k − (S − 5x₁ − 4x₂) = Sk − 5x₁k − 3x₂k − S + 5x₁ + 4x₂.
Строка 10. Период: июль 2034 — июнь 2035
Долг на начало периода (июль 2034) = S − 5x₁ − 4x₂.
Долг после начисления процентов = (S − 5x₁ − 4x₂) · k = Sk − 5x₁k − 4x₂k.
Долг на конец периода = долг на июль 2035 = 0 (кредит полностью погашен).
Выплата = Sk − 5x₁k − 4x₂k − 0 = Sk − 5x₁k − 4x₂k.
По условию, в июле 2030 года долг должен составлять 200 тыс. руб.
Следовательно, S − 5x₁ = 200.
Подставим S = 800 и найдём x₁.
800 − 5x₁ = 200
5x₁ = 600
x₁ = 120
По условию к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен.
Следовательно, S − 5x₁ − 5x₂ = 0
Подставим S = 800 и x₁ = 120
800 − 5 · 120 − 5x₂ = 0
5x₂ = 200
x₂ = 40
Выпишем все выплаты
Выплата в 2026 году = Sk − S + x₁
Выплата в 2027 году = Sk − x₁k − S + 2x₁
Выплата в 2028 году = Sk − 2x₁k − S + 3x₁
Выплата в 2029 году = Sk − 3x₁k − S + 4x₁
Выплата в 2030 году = Sk − 4x₁k − S + 5x₁
Выплата в 2031 году = Sk − 5x₁k − S + 5x₁ + x₂
Выплата в 2032 году = Sk − 5x₁k − x₂k − S + 5x₁ + 2x₂
Выплата в 2033 году = Sk − 5x₁k − 2x₂k − S + 5x₁ + 3x₂
Выплата в 2034 году = Sk − 5x₁k − 3x₂k − S + 5x₁ + 4x₂
Выплата в 2035 году = Sk − 5x₁k − 4x₂k
Суммируем все выплаты
По условию задачи общая сумма выплат = 1480 тысяч рублей.
Сложим все выплаты:
(Sk − S + x₁) +
(Sk − x₁k − S + 2x₁) +
(Sk − 2x₁k − S + 3x₁) +
(Sk − 3x₁k − S + 4x₁) +
(Sk − 4x₁k − S + 5x₁) +
(Sk − 5x₁k − S + 5x₁ + x₂) +
(Sk − 5x₁k − x₂k − S + 5x₁ + 2x₂) +
(Sk − 5x₁k − 2x₂k − S + 5x₁ + 3x₂) +
(Sk − 5x₁k − 3x₂k − S + 5x₁ + 4x₂) +
(Sk − 5x₁k − 4x₂k) = 1480
Группируем одинаковые слагаемые
Слагаемые с Sk
Посчитаем, сколько раз встречается Sk. Оно есть в каждой из 10 выплат. Значит:
10 · Sk = 10Sk
Слагаемые с x₁k (с минусом)
Выпишем коэффициенты при x₁k (везде со знаком минус):
Из 2-й выплаты: −1
Из 3-й: −2
Из 4-й: −3
Из 5-й: −4
Из 6-й: −5
Из 7-й: −5
Из 8-й: −5
Из 9-й: −5
Из 10-й: −5
Сложим: −(1+2+3+4) = −10 и ещё −5·5 = −25. Всего −35.
Значит, слагаемые с x₁k дают: −35 x₁k
Слагаемые с x₂k (с минусом)
Из 7-й выплаты: −1
Из 8-й: −2
Из 9-й: −3
Из 10-й: −4
Сумма: −(1+2+3+4) = −10
Значит, слагаемые с x₂k дают: −10 x₂k
Складываем S
−S встречается в первых 9 выплатах (во всех, кроме последней). Значит: 9 · (−S) = −9S
Слагаемые с x₁
Из 1-й выплаты: +x₁
Из 2-й: +2x₁
Из 3-й: +3x₁
Из 4-й: +4x₁
Из 5-й: +5x₁
Из 6-й: +5x₁
Из 7-й: +5x₁
Из 8-й: +5x₁
Из 9-й: +5x₁
Сложим: (1+2+3+4+5) = 15, плюс 5·4 = 20. Итого 35. Значит: +35 x₁
Слагаемые с x₂
Из 6-й выплаты: +x₂
Из 7-й: +2x₂
Из 8-й: +3x₂
Из 9-й: +4x₂
Сумма: 1+2+3+4 = 10. Значит: +10 x₂
Общая сумма выплат по кредиту:
10Sk − 35 x₁k − 10 x₂k − 9S + 35 x₁ + 10 x₂
По условию общая сумма выплат по кредиту равна 1480:
10Sk − 35 x₁k − 10 x₂k − 9S + 35 x₁ + 10 x₂ = 1480
Подставим S = 800, x₁ = 120, x₂ = 40:
10·800·k − 35·120·k − 10·40·k − 9·800 + 35·120 + 10·40 = 1480
Разделим обе части уравнения на 10:
800k − 35·12·k − 10·4·k − 9·80 + 35·12 + 40 = 148
Считаем:
800k − 420k − 40k − 720 + 420 + 40 = 148
800k − 420k − 40k = 340k
−720 + 420 + 40 = −260
340k − 260 = 148
340k = 408
k = 408 / 340 = 1,2
Находим r
k = 1 + r/100 = 1,2
r/100 = 0,2
r = 20
Ответ: 20
Решим задачу вторым способом
Введём обозначения
x₁ — сумма, на которую уменьшается долг в июле каждого из первых пяти лет (2026–2030);
x₂ — сумма, на которую уменьшается долг в июле каждого из вторых пяти лет (2031–2035);
k = 1 + r/100 — коэффициент, на который умножается долг в январе (увеличение на r%).
Распишем долг на июль каждого года (подробно)
В июле 2025 года долг = 800 тысяч рублей.
Как меняется долг в июле каждого года:
- В июле 2026 года долг становится на x₁ меньше, чем в июле 2025:
800 − x₁ - В июле 2027 года долг становится на x₁ меньше, чем в июле 2026:
(800 − x₁) − x₁ = 800 − x₁ − x₁ = 800 − 2x₁ - В июле 2028 года долг становится на x₁ меньше, чем в июле 2027:
(800 − 2x₁) − x₁ = 800 − 2x₁ − x₁ = 800 − 3x₁ - В июле 2029 года долг становится на x₁ меньше, чем в июле 2028:
(800 − 3x₁) − x₁ = 800 − 3x₁ − x₁ = 800 − 4x₁ - В июле 2030 года долг становится на x₁ меньше, чем в июле 2029:
(800 − 4x₁) − x₁ = 800 − 4x₁ − x₁ = 800 − 5x₁
По условию, в июле 2030 долг = 200 тыс. руб.:
800 − 5x₁ = 200
5x₁ = 600
x₁ = 120 (тыс. руб.)
Второй этап (2031–2035)
В июле 2030 долг = 200. Дальше каждый год уменьшается на x₂.
Аналогично первому этапу:
- Июль 2031: 200 − x₂
- Июль 2032: 200 − 2x₂
- Июль 2033: 200 − 3x₂
- Июль 2034: 200 − 4x₂
- Июль 2035: 200 − 5x₂ = 0
Отсюда:
200 − 5x₂ = 0
5x₂ = 200
x₂ = 40 (тыс. руб.)
Таблица погашения кредита
Проверим, что каждая группа — арифметическая прогрессия
Для первых пяти выплат (2026–2030):
Выплаты:
800k − 680
680k − 560
560k − 440
440k − 320
320k − 200
Найдём разность между второй и первой выплатой:
(680k − 560) − (800k − 680) = 680k − 560 − 800k + 680 = (680k − 800k) + (−560 + 680) = −120k + 120
Разность между третьей и второй:
(560k − 440) − (680k − 560) = 560k − 440 − 680k + 560 = (560k − 680k) + (−440 + 560) = −120k + 120
Разность между четвёртой и третьей:
(440k − 320) − (560k − 440) = 440k − 320 − 560k + 440 = (440k − 560k) + (−320 + 440) = −120k + 120
Разность между пятой и четвёртой:
(320k − 200) − (440k − 320) = 320k − 200 − 440k + 320 = (320k − 440k) + (−200 + 320) = −120k + 120
Все разности одинаковые и равны −120k + 120.
Значит, первые пять выплат образуют арифметическую прогрессию.
Первый член: a₁ = 800k − 680
Пятый член: a₅ = 320k − 200
Сумма первых пяти выплат:
S₁₋₅ = (a₁ + a₅) / 2 · 5 = (800k − 680 + 320k − 200) / 2 · 5 = (1120k − 880) / 2 · 5 = (560k − 440) · 5 = 2800k − 2200
Для вторых пяти выплат (2031–2035):
Выплаты:
200k − 160
160k − 120
120k − 80
80k − 40
40k
Найдём разность между второй и первой:
(160k − 120) − (200k − 160) = 160k − 120 − 200k + 160 = (160k − 200k) + (−120 + 160) = −40k + 40
Разность между третьей и второй:
(120k − 80) − (160k − 120) = 120k − 80 − 160k + 120 = (120k − 160k) + (−80 + 120) = −40k + 40
Разность между четвёртой и третьей:
(80k − 40) − (120k − 80) = 80k − 40 − 120k + 80 = (80k − 120k) + (−40 + 80) = −40k + 40
Разность между пятой и четвёртой:
40k − (80k − 40) = 40k − 80k + 40 = −40k + 40
Все разности одинаковые и равны −40k + 40.
Значит, вторые пять выплат тоже образуют арифметическую прогрессию.
Первый член: a₁ = 200k − 160
Пятый член: a₅ = 40k
Сумма вторых пяти выплат:
S₆₋₁₀ = (a₁ + a₅) / 2 · 5 = (200k − 160 + 40k) / 2 · 5 = (240k − 160) / 2 · 5 = (120k − 80) · 5 = 600k − 400
Общая сумма выплат
Сложим суммы обеих групп:
S₁₋₅ + S₆₋₁₀ = (2800k − 2200) + (600k − 400) = 3400k − 2600
По условию задачи, общая сумма выплат по кредиту составила 1480 тысяч рублей:
3400k − 2600 = 1480
Решаем уравнение
3400k = 1480 + 2600
3400k = 4080
k = 4080 / 3400
k = 1,2
Находим r
k = 1 + r/100
1,2 = 1 + r/100
r/100 = 1,2 − 1
r/100 = 0,2
r = 0,2 · 100
r = 20