Если Вы вложили деньги в банк с безумными процентами, то может ли эта сумма расти до бесконечности? Чтобы это понять, не нужно быть гениями математики. Добро пожаловать в мир «числа е» – кода, на котором «написана» сама Вселенная и… экономика. Так что такое «число Эйлера»? Зачем оно нужно? Как оно связано с банковскими вкладами? И причем тут Россия и русский писатель Лев Толстой? Давайте разбираться вместе.
Эксперимент с банковским вкладом
Давайте представим, что Вы кладете в банк 100 рублей. Банк оказывается настолько щедрым, что предлагает фантастические условия: 100% годовых. Тогда через год Вы заберете свои 100 рублей + 100 рублей дохода = 200 рублей.
Но тут менеджер нашего щедрого банка говорит: «А что, если мы будем начислять вам не раз в год 100%, а каждые полгода по 50%? Вы же согласны?». Давайте посчитаем, стоит ли соглашаться:
- через 6 месяцев: вы получаете 50% от 100 рублей и на счете уже 150 рублей;
- через 12 месяцев: вы снова получаете 50%, но уже от новой суммы (150 рублей). Это еще 75 рублей. Итого на счете 225 рублей!
А 225 рублей больше, чем 200 на целых 25%. Соглашаться, безусловно, стоит! Мы только что открыли для себя магию сложных процентов.
Давайте жадничать дальше. А что будет, если банк будет начислять 25% каждый квартал? Сумма в конце года составит уже около 244 рублей.
А если начислять проценты каждый месяц по 10%? Формула будет такой: изначальную сумму нужно умножить на (1 + 1/12) двенадцать раз (или возвести в 12-ю степень). В итоге вы получите около 261 рубля.
Уловили суть? Чем чаще мы получаем доход, тем больше денег в итоге имеем. Но есть ли предел этой жадности?
Шаг в бесконечность
Давайте представим идеальную ситуацию: банк начисляет нам проценты непрерывно, каждую секунду, каждую миллисекунду. Математически это означает, что количество начислений стремится к бесконечности ∞.
Если записать это формулой для изначальной суммы в 1 рубль, мы получим знаменитое выражение:
Это и есть тот самый второй замечательный предел, который пугает школьников на экзаменах (потому что его понять значительно сложнее, чем число π), но на самом деле является невероятно красивой идеей.
Кто же приручил бесконечность?
В конце XVII века великий Якоб Бернулли первым сформулировал эту задачу. Он понял, что сумма не улетает в бесконечность, а застревает где-то между 2 и 3. Но вычислить точное значение у него не получилось.
Разгадку удалось найти лишь 50 лет спустя. И здесь важно расставить исторические точки над i. Это сделал не Карл Гаусс (он физически не мог этого сделать, так как родился гораздо позже), а гениальный Леонард Эйлер.
Именно Эйлер разработал формулы для вычисления этого предела, доказал, что это число иррациональное (его десятичная запись бесконечна и не периодична) и дал ему то самое лаконичное имя, которое мы знаем сегодня – е. И именно это число сейчас мы называем «числом Эйлера».
Лайфхак для запоминания
Сегодня суперкомпьютеры вычислили триллионы знаков числа е после запятой. Но для нас с вами достаточно помнить его начало: e ≈ 2,718281828…
Как это запомнить и не сойти с ума? Тут на помощь приходит мнемоника (запоминание на основе ассоциаций). Есть блестящий мнемонический трюк, связанный с… русской литературой.
Посмотрите на цифры после запятой. Это 7, а затем дважды повторяется число 1828, которое является… годом рождения Льва Николаевича Толстого.
2, 7 1828 1828... Запомнили? Теперь Вы можете блеснуть эрудицией на любом уроке математики или литературы!
В чем суперсила числа ?
Почему же это число так важно, что его называют «языком природы»?
Представьте себе функцию f(x) = e^x. У неё есть уникальное, ни с чем не сравнимое свойство: скорость её роста (производная) в любой точке в точности равна её текущему значению:
- Чем больше бактерий в чашке Петри, тем быстрее они делятся.
- Чем больше радиоактивного вещества, тем интенсивнее идет распад.
- Чем больше денег на счете, тем быстрее капает сложный процент.
Это единственная функция в математике, которая «равна самой себе» при дифференцировании. Именно поэтому е^х является фундаментом для уравнений в физике, экономике, демографии, теории вероятностей и даже в описании формы провисающей цепи или росте популяций.
«Русский» Эйлер
Раз уж мы заговорили о числе е, нельзя не упомянуть поразительный факт – человек, раскрывший его тайны, почти половину жизни прожил и работал в России. Леонард Эйлер, швейцарец по рождению, по праву считается одним из отцов-основателей российской науки.
В 1727 году в Санкт-Петербург прибывает 20-летний вундеркинд. По иронии судьбы, в только что созданную Академию наук его пригласили на отделение медицины, и он даже успел поработать врачом на русском флоте!
Но скрыть гений было невозможно. Вскоре Леонард перешел на кафедру математики и поселился в одном доме с Даниилом Бернулли – родственником того самого Якоба Бернулли, с чьей задачи о сложных процентах всё и началось.
Именно в Петербурге Эйлер написал первый в России фундаментальный учебник арифметики. В 1741 году из-за политической нестабильности ему пришлось уехать в Берлин, но Россия своего гения не забыла. В 1766 году по личному приглашению Екатерины Великой 59-летний Эйлер триумфально вернулся.
Его второй период в России был одновременно великим и трагичным. Из-за колоссальных нагрузок учёный полностью ослеп. Но это не остановило гения! Обладая феноменальной памятью, слепой Эйлер продолжал диктовать формулы ассистентам и проводить сложнейшие вычисления в уме.
Из 60 лет научной деятельности Эйлер отдал Петербургской академии 31 год, скончавшись здесь в 1783 году.
Так что, когда вы пишете на листке букву е, помните: мы во многом обязаны её появлению гению, который полюбил Россию и сделал её своим вторым домом.
Вместо заключения
Число Эйлера – это не просто набор цифр в учебнике. Это мост между простейшей житейской задачей о банковских процентах и фундаментальными законами эволюции нашей Вселенной. Оно учит нас тому, что даже при бесконечно частых изменениях в мире всегда есть гармония, предел и красивый математический порядок.
Помните, мы уже с Вами рассматривали мнемонику на примере уникальной памяти Сталина:
А здесь про загадочное число π:
Возможно, Вам будет интересно:
Благодарю, что дочитали до конца. Лайк – лучшее спасибо мне, как автору!