Александр Абросимов родом из Новокуйбышевска, где он вырос и начал заниматься волейболом благодаря Валентину Михайловичу Золотухину, когда учился в третьем классе. Его спортивная карьера стартовала в 1999 году в Новокуйбышевском «Октане» (ныне - «Нова»).
В 2001 году, выступая в составе юниорской сборной России под руководством Андрея Смирнова, он стал победителем чемпионата Европы среди юношей U19 в Чехии и получил бронзу на мировом первенстве среди юношей в Каире, где оба раза был признан лучшим блокирующим. В 2002-2003 годах играл за молодёжную сборную, а в 2004-м - за вторую сборную России, участвуя в матчах Евролиги под руководством Юрия Сапеги. После этого сезона Абросимов перешёл в клуб «Локомотив-Белогорье», где сразу занял место в стартовой шестёрке, заменяя травмированного Аркадия Козлова, и добился значительных успехов в национальных и международных турнирах. Его дебют за национальную сборную состоялся в 2006 году, и с тех пор он участвовал в ряде важных матчей и турниров, в