Из таблички видно, какой вариант выбрать и зависит от того, о каком английском мы говорим — британском или американском.
А сейчас рассмотрим подробнее.
1. At the weekend - на этих выходных, в эти выходные.
(Британский английский)
Относится к одному конкретному выходному (который приближается или был).
What are you doing at the weekend?
Что ты делаешь на этих выходных?
We went to the beach at the weekend.
Мы ездили на пляж в эти выходные.
(имеют ввиду - прошедшие выходные)
2. At weekends - по выходным (Британский английский)
Описывает регулярное, повторяющееся действие. Синоним every weekend.
I usually relax at weekends.
Я обычно отдыхаю по выходным.
At weekends, we often visit our grandparents.
По выходным мы часто навещаем наших бабушку и дедушку.
3. On the weekend - на этих выходных (Американский английский)
Используется в США так же, как at the weekend в Британии — для одного конкретного выходного.
Let's catch up on the weekend.
Давай встретимся на этих выходных.
4. On weekends - по выходным (Американский английский)
Используется в США так же, как at weekends в Британии — для регулярных действий.
He plays golf on weekends.
Он играет в гольф по выходным.
А как же "at the weekends"?
Форма at the weekends используется гораздо реже. Носители её поймут, но она не является стандартной. Лучше использовать варианты без артикля: at weekends (BrE) или on weekends (AmE).
Подведём итог:
Если вы говорите о регулярных действиях (по выходным), используйте:
at weekends (в Великобритании)
on weekends (в США)
Если вы говорите об одних конкретных выходных (на этих выходных), используйте:
at the weekend (в Великобритании)
on the weekend (в США)