В ряде статей на моем канале я касался тем связанных с полиномами Чебышева, но ни где я не рассказывал, как они применяются для решения прикладных задач математики. А они сейчас очень широко используются в вычислительной математике. Это и аппроксимация табличной функции, численное интегрирование и многое другое, связанное с аппроксимацией функции.
Так как аппроксимация функции занимает ключевую роль, то в данной статье будет рассмотрена аппроксимация с помощью полиномов Чебышева.
Основная особенность такой аппроксимации являются то, что она предотвращает так называемое биение, когда ошибка, вычисленного значения функции по другим полиномам, например, по полиномам Лагранжа, значительно превышает среднюю ошибку вычисленной функции по ним на участке аппроксимации.
Но так как полиномы Чебышева позволяют аппроксимировать на только на участке числовой оси [-1; 1] то если мы хотим аппроксимировать какую-либо функции на участи [a; b] то аргумент такой функции должен быть масштабирован с помощью следующего выражения:
Или обратное выражение, которое будет использоваться при вычислении функции:
Естественно, функция на этом промежутке должна быть непрерывной и гладкой, то есть она должна быть дифференцируема на этом участке.
Единственное существенное ограничение на функцию должно выполнятся после масштабирования ее аргументов, что ее значение должны быть при следующих аргументах:
Тогда многочлен аппроксимации будет следующий:
Коэффициенты ck рассчитываются по следующей формуле:
Давайте для примера построим полином аппроксимации на основе полиномов Чебышева функции y(x)=e^x на участке [-1;1] с пятью узлами.
В статье “Полиномы Чебышева. Рекуррентные формулы” были приведены полиномы Чебышева первого и второго рода с нулевой по пятую степень. Для данного примера на понадобятся полиномы Чебышева первого рода с нулевой степени по пятую, которые представлены в нижеприведенной таблицы. Если вам понадобятся полиномы более высокой степени, то вы можете воспользоваться рекуррентной формулой, приведенной в указанной статье.
Тогда надо вычислить функцию в узловых точках:
В следующей таблицы даны значения полиномов Чебышева первого рода степеней от нулевой до пятой степеней. Ей можно воспользоваться и при аппроксимации других функций по пяти узловых точек.
Из таблицы видно, что в всех ключевых точках полином Чебышева пятой степени имеет нулевые значения, поэтому пятый член нашей аппроксимации можно отбросит.
Вычисление коэффициентов нашей аппроксимации дает следующие значения:
Отсюда получаем следующее аппроксимирующее выражение
На графике показано отклонение найденной аппроксимации от функции е^x
Из него видно, что ошибка найденной аппроксимации функции e^x меньше 6.5·10^(-4), то есть данная аппроксимация данной функции от -1 до 1 гарантирует 3 верных знака после запятой.