Эти темы спасут твои два балла за задание 24!
P.S. Все задания взяты из открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ.
Задачи 1-2: признаки подобия треугольников
Нужно знать признак подобия треугольников по двум углам, а также по двум пропорциональным сторонам и углу.
Где это встречается?
Задача 1. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
Подробнее здесь. Дополнительно используется свойство вписанного четырёхугольника.
Задача 2. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Подробнее здесь. Дополнительно используется свойство параллельных прямых.
Задачи 3-4: признаки равенства треугольников
Нужно знать признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам, а также по двум сторонам и углу между ними.
Где это встречается?
Задача 3. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Докажите, что отрезки AE и CF равны.
Подробнее здесь. Дополнительно используется свойство параллелограмма.
Задача 4. Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.
Подробнее здесь. Дополнительно используется свойство медианы треугольника.
Задачи 5-7: площади
Нужно знать формулы площадей треугольников, трапеции, параллелограмма.
Где это встречается?
Задача 5. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.
Подробнее здесь. Дополнительно используются свойства средней линии.
Задача 6. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны. Подробнее здесь.
Задача 7. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Подробнее здесь. Дополнительно используется свойство параллелограмма.
Задачи 8-11: окружность
Нужно знать теоремы о вписанных и центральных углах, теорему о радиусе, проведенном в точку касания, а также признак вписанного четырёхугольника.
Где это встречается?
Задача 8. В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что треугольники A1BC1 и ABC подобны.
Подробное решение здесь. Дополнительно используется признак подобия треугольников.
Задача 9. Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.
Подробное решение здесь. Дополнительно используется признак подобия треугольников.
Задача 10. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны. Здесь.
Задача 11. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что углы CC1A1 и CAA1 равны. Здесь.
Задачи 12-15: отрезки
Нужно знать определение и свойства биссектрисы и серединного перпендикуляра.
Где это встречается?
Задача 12. Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC. Здесь.
Задача 13. Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD. Докажите, что M — середина AD. Здесь.
Задача 14. Биссектрисы углов B и C четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD. Здесь.
Задача 15. Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны. Здесь.
Итог
Все эти темы составляют базу, которая необходима для решения всех задач 24 задания.
Если хочешь ознакомиться подробнее - ссылка на полные разборы ниже, в описании.
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Ты решаешь 23 задание (вычисление) или 24 (доказательство)?
✅ Самое надёжное — не зубрёжка, а понимание.
📌 Дальше — постепенный разбор задач задания 24:
👉 Подборка всех задач задания 24 - здесь.
📌 Хотите ещё геометрии?
👉 Подборка всех задач задания 23 - здесь.
👉 Разбор 1 части задания 15 - здесь.
👉 Разбор всех типов задания 16 - здесь.
👉 Разбор 1 части задания 17 - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.