Определение оптимальной производственной программы центра
по техническому обслуживанию и ремонту техники
Дисциплина: «Управление производственными системами». Метод: линейное программирование (MS Excel, «Поиск решения»). Вариант 1.
1 Постановка задачи
Центр по техническому обслуживанию и ремонту техники выполняет ремонт и ТО семи наименований изделий (А, Б, В, Г, Д, Е, К). Работы проходят последовательно через четыре производственных участка. Каждое изделие требует определённых затрат рабочего времени (нормо-часов) на каждом участке. Ресурсы предприятия ограничены: располагаемым фондом времени каждого участка, годовым фондом рабочего времени промышленно-производственного персонала (ППП) и обязательствами по договорам, которые предприятие обязано выполнить в полном объёме.
Требуется определить такую производственную программу (количество ремонтируемых и обслуживаемых изделий каждого вида), которая обеспечивает максимальную прибыль предприятия при соблюдении всех перечисленных ограничений. В случае невозможности выполнения ограничений необходимо предложить пути оптимизации деятельности предприятия за счёт изменения численности работающих и режима использования оборудования.
2 Исходные данные (вариант 1)
Строка «Трудоёмкость, всего» — суммарные затраты труда на одно изделие по всем четырём участкам; они используются в ограничении по фонду рабочего времени персонала.
Численность ППП на начало года — 10 чел. Годовой фонд рабочего времени одного работника при 260 рабочих днях и 8-часовом рабочем дне составляет 260 · 8 = 2080 чел.-час, а суммарный фонд по предприятию — 10 · 2080 = 20 800 чел.-час.
3 Математическая модель задачи
Задача относится к классу задач линейного программирования. Введём обозначения переменных: xА, xБ, xВ, xГ, xД, xЕ, xК — искомое количество изделий каждого вида, включаемых в производственную программу (шт.).
Целевая функция — суммарная прибыль предприятия:
Z = Σ pj·xj → max, (1)
где pj — прибыль от одного изделия j-го вида, руб.; xj — объём программы по изделию j, шт.
В развёрнутом виде целевая функция:
2800xА + 3500xБ + 4000xВ + 1000xГ + 8000xД + 6500xЕ + 2456xК → max.
Ограничения по располагаемому фонду времени участков (затраты не превышают фонда):
Σ aijxj ≤ Fi, i = 1, 2, 3, 4; (2)
Fi = Mi·ki, (3)
где aij — затраты времени на изделие j на участке i; Mi — производственная мощность участка; ki — коэффициент использования мощности; Fi — располагаемый фонд участка, н-час.
Ограничение по годовому фонду рабочего времени персонала:
Σ tjxj ≤ Фтр, (4)
где tj — суммарная трудоёмкость изделия j по всем участкам, н-час; Фтр = 20 800 чел.-час.
Ограничения по договорным обязательствам и условие неотрицательности (целочисленности):
xj ≥ dj, xj ≥ 0, xj — целые, (5)
где dj — обязательства по договорам по изделию j, шт.
Развёрнутая система ограничений для варианта 1 имеет вид:
2xА + 5xБ + 3xВ + 4xГ + 6xД + 3xЕ + 4xК ≤ 4 000
2xА + 8xБ + 2xВ + 1xГ + 4xД + 4xЕ ≤ 2 400
2xБ + 3xВ + 2xГ + 2xД + 2xЕ + 9xК ≤ 1 440
2xА + 2xБ + 3xВ + 4xГ + 2xД + 1xЕ + 1xК ≤ 2 400
6xА + 17xБ + 11xВ + 11xГ + 14xД + 10xЕ + 14xК ≤ 20 800
xА ≥ 2; xГ ≥ 2; xД ≥ 2; xЕ ≥ 3; xК ≥ 2; xБ, xВ ≥ 0.
4 Решение задачи в MS Excel («Поиск решения»)
Для решения задачи использована стандартная надстройка MS Excel «Поиск решения», реализующая симплекс-метод линейного программирования. Порядок подготовки модели:
– на рабочем листе формируется матрица затрат времени по участкам (таблица 1) и строка изменяемых ячеек, соответствующих искомым объёмам xА…xК;
– целевая ячейка содержит формулу прибыли Z = СУММПРОИЗВ(диапазон прибыли; диапазон объёмов);
– в ячейках левых частей ограничений записывается СУММПРОИЗВ(строка затрат участка; объёмы); рядом указываются знаки «≤» и располагаемые фонды участков;
– в диалоговом окне задаются направление оптимизации, изменяемые ячейки и ограничения, включается флажок целочисленности и линейная модель.
5 Результаты расчёта
В результате решения получена оптимальная производственная программа, обеспечивающая максимальную прибыль предприятия (таблица 5, рисунок 1).
Максимальная прибыль составляет 4 854 956 руб. Решение непрерывной (без условия целочисленности) задачи даёт верхнюю оценку 4 856 320,44 руб.; округление до целых изделий снижает прибыль лишь на 1 364 руб. (менее 0,03 %), что подтверждает корректность целочисленного плана.
Рисунок 1 — Оптимальная производственная программа по изделиям
Загрузка ресурсов предприятия в оптимальном плане приведена в таблице 6 и на рисунке 2.
Рисунок 2 — Загрузка производственных участков
6 Анализ результатов
Анализ загрузки показывает, что в оптимальном плане полностью исчерпаны ресурсы участка 2 (загрузка 100 %) и практически полностью — участка 3 (99,8 %). Именно эти два участка являются «узкими местами», которые сдерживают рост прибыли. Участок 1 загружен на 92,5 %, а участок 4 — лишь на 51,4 %, то есть имеет значительный резерв (1166 н-час). Фонд рабочего времени персонала использован всего на 42,2 % — резерв труда составляет более 12 тыс. чел.-час.
Степень «дефицитности» каждого ресурса характеризуют двойственные оценки (теневые цены), полученные в отчёте по устойчивости. Они показывают, на сколько вырастет прибыль при увеличении соответствующего ресурса на одну единицу (таблица 7, рисунок 3).
Наибольшую ценность имеет фонд участка 2: каждый дополнительный нормо-час на нём увеличивает прибыль на 1863,56 руб. Нормо-час участка 3 «стоит» 272,89 руб. Теневые цены участка 4 и персонала равны нулю — эти ресурсы избыточны, их увеличение прибыль не повысит.
Рисунок 3 — Двойственные оценки ресурсов участков
В структуре прибыли преобладает изделие Д (рисунок 4): при наибольшей удельной прибыли (8000 руб.) и сравнительно низкой нагрузке на дефицитные участки 2 и 3 оно оказывается наиболее выгодным, и план максимально насыщается именно этим изделием. Малоприбыльное изделие Г и изделия Б, В включаются в программу только в объёме договорных обязательств.
Рисунок 4 — Структура прибыли по изделиям
7 Пути оптимизации деятельности предприятия
Все заданные ограничения в оптимальном плане выполнимы, договорные обязательства соблюдены. Вместе с тем анализ выявил резкую несбалансированность ресурсов: оборудование участков 2 и 3 является «узким местом», тогда как рабочая сила и оборудование участка 4 избыточны. Для повышения эффективности предлагаются следующие мероприятия.
– Использование оборудования. Перевод участков 2 и 3 на полутора- или двухсменный режим работы увеличивает их располагаемый фонд и снимает основное ограничение. С учётом теневых цен прирост прибыли при добавлении мощности на участке 2 наиболее значителен (≈1864 руб. за каждый н-час), поэтому первоочередным является именно этот участок.
– Оптимизация численности персонала. Фонд рабочего времени используется лишь на 42 %, что говорит об избытке персонала относительно текущей программы. Высвобождаемых работников целесообразно перераспределить на дозагружаемые во вторую смену участки 2 и 3, что позволяет нарастить выпуск без увеличения общей численности.
– Догрузка участка 4. Резерв участка 4 (≈1166 н-час) может быть использован для увеличения выпуска изделий, проходящих преимущественно через этот участок, либо для приёма дополнительных заказов.
– Повышение коэффициента использования мощности. Рост коэффициентов k участков 2 и 3 (за счёт сокращения простоев, улучшения организации труда) прямо увеличивает располагаемый фонд и прибыль предприятия.
8 Выводы
Задача оптимизации производственной программы формализована как задача линейного программирования с целевой функцией прибыли и ограничениями по фондам четырёх участков, фонду рабочего времени персонала и договорным обязательствам и решена симплекс-методом в MS Excel.
Оптимальная программа для варианта 1: xА=2, xБ=0, xВ=1, xГ=2, xД=595, xЕ=3, xК=26 шт.; максимальная прибыль — 4 854 956 руб.
«Узкими местами» предприятия являются участки 2 и 3 (загрузка 100 % и 99,8 %); наибольшую теневую цену имеет фонд участка 2 (1863,56 руб./н-час). Рабочая сила (использование 42,2 %) и участок 4 (51,4 %) располагают значительными резервами. Основные направления оптимизации — перевод участков 2 и 3 на многосменный режим с перераспределением избыточного персонала и повышение коэффициента использования их мощности.
# оптимизация
#линейное программирование
#программа предприятия