В этой статье разберём задачу, которая часто встречается в ЕГЭ по профильной математике (задание №16). Это задача про кредит, где долг уменьшается на одну и ту же сумму, а проценты начисляются на остаток.
Мы не только найдём ответ, но и оформим решение так, как ждут на экзамене — с таблицей и чёткими пояснениями.
Условие задачи
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1198 тысяч рублей?
Тип задачи
Это дифференцированные платежи.
Признаки:
- долг уменьшается на одну и ту же сумму (первые 10 месяцев);
- проценты начисляются на фактический остаток долга;
- выплаты каждый месяц разные (чем меньше остаток, тем меньше проценты).
Что такое дифференцированные платежи?
Дифференцированный платёж — это способ погашения кредита, при котором основной долг уменьшается каждый месяц на одну и ту же сумму. А проценты начисляются на остаток долга, поэтому в начале выплаты большие, а к концу — маленькие.
Как узнать дифференцированный платёж в задаче:
В условии говорят: «долг на 15 число каждого месяца должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем в предыдущем месяце».Это и есть признак — тело кредита уменьшается равномерно.
Отличие от аннуитета:
При аннуитете выплаты одинаковые, а долг уменьшается неравномерно (в начале — медленно, в конце — быстрее). В этой задаче — дифференцированный платёж.
Понимание этого помогает быстро выбрать метод решения и не перепутать с аннуитетом.
Введём обозначение
Пусть S — первоначальная сумма долга (тыс. рублей).
Из условия: каждый месяц долг на 15 число уменьшается на 80 тысяч по сравнению с предыдущим месяцем.
- 15 декабря: долг = S
- 15 января: долг = S − 80
- 15 февраля: долг = (S − 80) − 80 = S − 160
- 15 марта: долг = (S − 160) − 80 = S − 240
- 15 апреля: долг = (S − 240) − 80 = S − 320
- 15 мая: долг = (S − 320) − 80 = S − 400
- 15 июня: долг = (S − 400) − 80 = S − 480
- 15 июля: долг = (S − 480) − 80 = S − 560
- 15 августа: долг = (S − 560) − 80 = S − 640
- 15 сентября: долг = (S − 640) − 80 = S − 720
- 15 октября: долг = (S − 720) − 80 = S − 800
- 15 ноября: долг = 0
Как разбиты периоды
Каждый период длится с 15 числа одного месяца по 14 число следующего.
Выплата происходит во втором месяце периода (со 2 по 14 число), а результат фиксируется 15 числа второго месяца.
- 1-й период: 15 декабря — 14 января (выплата в январе)
- 2-й период: 15 января — 14 февраля (выплата в феврале)
- 3-й период: 15 февраля — 14 марта (выплата в марте)
- …
- 9-й период: 15 сентября — 14 октября (выплата в октябре)
- 10-й период: 15 октября — 14 ноября (выплата в ноябре)
Составляем таблицу
Самый надёжный способ — составить таблицу. В ней сразу видно: какой долг был, какие проценты набежали и сколько заплатили.
Разберём первый месяц (15 декабря - 14 января) подробно
— 15 декабря долг = S (это долг на начало периода для января)
— 1 января начисляются проценты: долг увеличивается на 3%.
В общем виде: если процентная ставка = r% в месяц, то долг умножается на (1 + r/100).
В нашей задаче r = 3%, поэтому множитель = 1 + 3/100 = 1,03.
Чтобы найти новый долг, нужно к исходному S прибавить 3% от S:
S + 0,03·S = 1,03·S
Поэтому долг становится 1,03·S
— по условию, 15 января долг должен быть на 80 тысяч меньше, чем 15 декабря. Значит 15 января долг = S − 80
— тогда выплата в январе (со 2-го по 14-е число) = 1,03·S − (S − 80) = 0,03·S + 80. Эту выплату записываем в таблицу в столбец «Выплата» строки «15 декабря»
— а S − 80 записываем в столбец «Долг на конец периода» той же строки. Это долг, который останется после январской выплаты. Он будет зафиксирован 15 января и станет долгом на начало следующего периода.
Разберём второй месяц (15 января - 14 февраля) подробно
— 15 января долг = S − 80 (это долг на начало периода для февраля)
— 1 февраля начисляются проценты: долг увеличивается на 3%.
Чтобы найти новый долг, нужно к исходному (S − 80) прибавить 3% от (S − 80):
(S − 80) + 0,03·(S − 80) = 1,03·(S − 80)
Поэтому долг становится 1,03·(S − 80)
— по условию, 15 февраля долг должен быть на 80 тысяч меньше, чем 15 января. Значит, 15 февраля долг = (S − 80) − 80 = S − 160
— тогда выплата в феврале = 1,03·(S − 80) − (S − 160) = 0,03·S + 77,6. Эту выплату записываем в таблицу в столбец «Выплата» строки «15 января»
— а S − 160 записываем в столбец «Долг на конец периода» той же строки. Это долг, который останется после февральской выплаты. Он будет зафиксирован 15 февраля и станет долгом на начало следующего периода.
Разберём третий месяц (15 февраля - 14 марта) — строка «15 февраля»
— 15 февраля долг = S − 160 (это долг на начало периода для марта)
— 1 марта начисляются проценты: долг увеличивается на 3%.
Поэтому долг становится 1,03·(S − 160)
— по условию, 15 марта долг должен быть на 80 тысяч меньше, чем 15 февраля. Значит, 15 марта долг = (S − 160) − 80 = S − 240
— тогда выплата в марте = 1,03·(S − 160) − (S − 240) = 0,03·S + 75,2. Эту выплату записываем в таблицу в столбец «Выплата» строки «15 февраля»
— а S − 240 записываем в столбец «Долг на конец периода» той же строки. Это долг, который останется после мартовской выплаты. Он будет зафиксирован 15 марта и станет долгом на начало следующего периода.
Разберём девятый месяц (15 сентября — 14 октября) — строка «15 сентября»
— 15 сентября долг = S − 720 (это долг на начало периода для октября)
— 1 октября начисляются проценты: долг увеличивается на 3%.
Поэтому долг становится 1,03·(S − 720)
— по условию, 15 октября долг должен быть на 80 тысяч меньше, чем 15 сентября. Значит, 15 октября долг = (S − 720) − 80 = S − 800
— тогда выплата в октябре (со 2 по 14 октября? Внимание: выплата происходит в октябре, но в таблице она записывается в строку «15 сентября»)
Выплата = 1,03·(S − 720) − (S − 800) = 0,03·S + 58,4
— эту выплату записываем в таблицу в столбец «Выплата» строки «15 сентября»
— а S − 800 записываем в столбец «Долг на конец периода» строки «15 сентября». Это долг, который останется после октябрьской выплаты. Он будет зафиксирован 15 октября и станет долгом на начало следующего периода.
Разберём десятый месяц (15 октября — 14 ноября) — строка «15 октября»
— 15 октября долг = S − 800 (это долг на начало периода для ноября)
— 1 ноября начисляются проценты: долг увеличивается на 3%.
Поэтому долг становится 1,03·(S − 800)
— по условию, к 15 ноября кредит должен быть полностью погашен, значит 15 ноября долг = 0
— тогда выплата в ноябре (со 2 по 14 ноября) = 1,03·(S − 800) − 0 = 1,03·S − 824
— эту выплату записываем в таблицу в столбец «Выплата» строки «15 октября»
— а 0 записываем в столбец «Долг на конец периода» строки «15 октября». Это долг, который останется после ноябрьской выплаты. Кредит полностью погашен.
Отдельной строки «15 ноября» в таблице нет, потому что на эту дату долг уже равен нулю и новый период не начинается.
Сумма всех выплат
Посмотрим на таблицу. В столбце «Выплата» для строк с 15 декабря по 15 сентября (первые 10 строк) указаны выражения:
0,03·S + 80
0,03·S + 77,6
0,03·S + 75,2
…
0,03·S + 58,4
Каждая выплата состоит из двух частей:
- 0,03·S — проценты за месяц (3% от S)
- число — часть, которая идёт на уменьшение долга (с каждым месяцем оно уменьшается на 2,4)
Числа: 80, 77,6, 75,2, … , 58,4 образуют арифметическую прогрессию:
- первый член a₁ = 80
- последний член a₁₀ = 58,4
- количество членов n = 10
- разность d = −2,4 (каждый следующий на 2,4 меньше)
Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
((первый + последний) / 2) × количество
Сумма чисел = ((80 + 58,4) / 2) × 10 = 692
Сумма всех 0,03·S за 10 месяцев = 10 × 0,03·S = 0,3·S
Теперь добавим последнюю выплату из строки «15 октября»: 1,03·S − 824
Общая сумма выплат = 0,3·S + 692 + 1,03·S − 824 = 1,33·S − 132
Находим S
По условию, общая сумма выплат = 1198.
1,33·S − 132 = 1198
1,33·S = 1330
S = 1330 / 1,33 = 1000
15-го числа 10-го месяца — это 15 октября.
Долг до начисления процентов на эту дату = S − 800 = 1000 − 800 = 200
Ответ: 200 тысяч рублей.