Подобные треугольники + свойство касательной = 2 балла.
P.S. Все задания взяты из открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ
Необходимая теория
Для решения задач нужно
- Знать, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
- Знать признак подобие треугольников по двум углам: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Задача
Формулировка. Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.
Чертёж. P и Q - центры окружностей, на отрезки PQ лежит точка К (точка, которая делит отрезок, соединяющий центры, в отношении a:b). Доп. построение: прямая AB, проходящая через точку К и являющаяся касательной к обеим окружностям, из их центров к ней проведены радиусы PA и BQ.
Алгоритм. Докажем подобие треугольников APK и BKQ, выразим пропорциональность сторон и получим нужное отношение.
Допустим, что PK : KQ = a : b.
Рассмотрим треугольники APK и BKQ. В них углы PKA и BKQ равны как вертикальные, углы PAK и QBK равны как прямые (т.к. радиусы PA и QP проведены в точку касания и перпендикулярны касательной АВ). Тогда треугольники APK и BKQ подобны по двум углам.
Выразим пропорциональность сторон: PA : BQ = PK : KQ = AK : BK.
Ранее мы приняли, что PK : KQ = a : b, следовательно PA : BQ = a : b. При этом PK и BQ - радиусы окружностей, следовательно, диаметры этих окружностей также относятся как a : b. ЧТД
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Насколько эти задачи показались сложными?
✅ Самое надёжное — не зубрёжка, а понимание.
📌 Дальше — постепенный разбор задач задания 24:
👉 Подборка всех задач задания 24 - здесь.
📌 Хотите ещё геометрии?
👉 Подборка всех задач задания 23 - здесь.
👉 Разбор 1 части задания 15 - здесь.
👉 Разбор всех типов задания 16 - здесь.
👉 Разбор 1 части задания 17 - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.