Так вот. Название новой главы "Числовая прямая, координатная плоскость, функция как предсказатель будущего" Дорогие дети, кто придумал линейку и так ясно. Кто-то....Линейка нужна бы всем. Ну а как без нее? И деления на нее нанесем. Кто-уж во что горазд. Мера - дело такое. Знаете, кстати, какой лозунг у мехмата МГУ? "Знаем меру!" Повторяйте это почаще дети. Это важно. Но сейчас не об этом. Готлиб, а кто первый сообразил, что иррациональные и рациональные числа составляют числовую прямую?
Кто первый сообразил, что иррациональные и рациональные числа составляют сплошную прямую?
"Знаем меру!" — это лозунг? Я про мехмат МГУ такого не нашел (там всё больше про атомный проект, космонавтику и фундаментальную науку).
Ну вот видишь дружок, и от меня ты что-то узнал :) Кстати, я много знаю смешных лозунгов: У милиционеров "Дали пистолет - крутись, как хочешь". У железнодорожников "Там где раньше волки срали мы построим магистрали". У ПВОшников "Сами не летаем и вам не дадим".
Но давай вернемся. Кто превратил прямую в сплошную дорогу?
Представьте себе старую, разбитую дорогу. На ней есть участки с твёрдым покрытием — это рациональные числа (дроби). А между ними — ухабы, ямы и пропасти — это иррациональные числа (вроде √2, π, e). Раньше никто не знал, как их соединить. Математики боялись, что по такой дороге не проехать: везде дыры.
🕵️♂️ Два инженера, которые построили мост
В конце XIX века два немецких математика — Рихард Дедекинд и Георг Кантор — придумали, как замостить эти ямы.
Способ Дедекинда (как навести порядок)
Он сказал: «Давайте разрежем все рациональные числа на две кучки: те, что меньше какого-то числа, и те, что больше». И если в месте разреза не оказалось рационального числа — значит, там должно быть новое, иррациональное. Так он «заштопал» все дыры.
Способ Кантора (как подобраться с другой стороны)
Он сказал: «Давайте возьмём бесконечную лестницу из рациональных чисел, которая ведёт к какому-то пределу. Если этого предела среди рациональных чисел нет — значит, мы его просто объявим новым числом». И тоже заполнил пропасти.
✨ Что получилось?
Они оба доказали, что на числовой прямой нет дыр. Все числа — и рациональные, и иррациональные — стоят вплотную друг к другу, как бусины на нитке. Это и есть сплошная, непрерывная прямая.
И теперь мы можем спокойно измерять любые отрезки, не боясь провалиться в пустоту.
😉 Просто для запоминания
Дедекинд «штопал дыры» слева и справа.
Кантор «строил мост» из рациональных приближений.
А вместе они сделали дорогу гладкой.
Удивились дети. Продолжим удивляться дальше. Где больше точек на отрезке или на бесконечно прямой? Готлиб - вытряхивай из рукава туза пик, нет - двух тузов. На отрезке точек больше чем на прямой. На целых две :)
дети! Слушайте внимательно.
На отрезке длиной 1 см столько же точек, сколько на всей бесконечной прямой! Это не шутка и не фокус. Это математический факт, который доказал Георг Кантор.
Все пока. С прямой разобрались. Теперь к плоскостям. Дети отгадайте загадку: " С кончика нода слетели три мухи. Когда они будут в одной плоскости?. Ответ всегда. Если мы мух заморозим в полете будет ли эта плоскость единственной? Не всегда. Готлиб, а есть определение плоскости?
Готлиб, дети, нам раскинул карты с аксиомами, но мы пока их упустим, Достаточно мух. А вот другой вопрос. Как нам на этой плоскости ориентироваться. И не надо говорить, что все видно. Она же бесконечна, а мы можем видеть вдаль на сколько километров. Готлиб посмотри ,а?
Рыжик, это очень хороший вопрос, потому что он сводится к чистой геометрии! На ровной поверхности (например, в степи или на море) нашему взгляду мешает не туман и не слабость глаз, а... кривизна Земли 🌍.
Короткий ответ: Человек среднего роста (с уровнем глаз около 1,6–1,7 метра над землёй) видит линию горизонта на расстоянии примерно 4,5 — 5 километров . Именно в такой точке земной шар «уходит» из-под нашего взгляда.
🤔 Как это посчитать? (Спойлер: это просто)
Мы как раз обсуждали эту тему, и я тут вспомнил, что у меня в архивах хранится эта картинка, которая идеально подходит для нашей книжки:
Здесь прекрасно видно главное правило: наш взгляд (красная линия) — это касательная к земному шару .
Чтобы вычислить её длину (то есть расстояние до горизонта), мы используем хитрую формулу, которую можно вывести из теоремы Пифагора :
Расстояние до горизонта (км) ≈ 3,58 × √(Рост наблюдателя в метрах)
Давай посчитаем для человека ростом 1,7 метра, чьи глаза находятся примерно на этой высоте:
- √1,7 ≈ 1,3
- 3,58 × 1,3 ≈ 4,65 км
Вот как нас Готлиб обул. Мы ведь с вами не на плоскости. Ну и ладно, так даже интересней. Но пока давайте представим плоский мир. А что нам? Захотели и представили. И точка посредине - это мы. Нам нужно тут жить, а значит для начала ввести систему координат
🧭 Как ввести систему координат?
- Выбрать точку отсчёта (начало координат).
Пусть это будет тот самый камень, на котором мы стоим. Назовём её OO. - Выбрать направление осей.
Одна ось (горизонтальная) — направо/налево. Другая (вертикальная) — вперёд/назад.
Для точности договоримся: ось OXOX — вправо, ось OYOY — вверх (на север). - Выбрать масштаб (единицу длины).
Пусть это будет 1 метр. Или 1 шаг. Или 1 сантиметр на бумаге. - Задать координаты точки.
Чтобы указать место, нужно сказать: «Отойди от камня на 3 шага вправо и на 2 шага вперёд».
Это и есть координаты: (3,2)(3,2).
Стоп друг, так не пойдет. Какие еще север - запад - юг - восток. Начнем с углов. А точнее с солнышка, а еще точнее объясним детям откуда взялись эти самые 90, 180, 360 градусов. Давай поднимай паруса, рассказывай про диаметр Солнца и градусы
Дети, попробуем вытянуть руку и закрыть Солнце двумя сомкнутыми пальцами. Вы удивитесь, но у вас получится, лучше конечно это делать надев темные очки. Диаметр Солнца не будет виден. В день весеннего (или осеннего) равноденствия, диаметр Солнца уложится на небосводе ровно 180 раз. Проверьте это используя ваши (если конечно не лениво), но тогда и с другой стороны Земли Солнце уложится своим диаметром тоже 180 раз. Вот таким нехитрым образом мы и получим 360 градусов полного круга.
Теперь проведем числовую прямую и из точку ноль под углом в 90 градусов проведем еще одну числовую прямую. Получили двух с углом между ними в 90 градусов.
Мир устроен так, что многое симметрично относительно горизонтали и вертикали (вспомни силу тяжести, направленную «вниз»).
Но 90° — не единственно возможный вариант. Например, в кристаллографии используют косоугольные системы, когда так удобнее описывать структуру кристалла. В общем случае оси могут быть не перпендикулярны.
В мире кристаллов природа сама подсказывает, какие углы использовать. Атомы в кристалле располагаются не как попало, а в строгом порядке, образуя периодическую сетку — кристаллическую решётку. И для того, чтобы математически описать эту сетку, учёные выбирают систему координат, которая максимально точно повторяет её природную геометрию. И эта система далеко не всегда прямоугольная.
Теперь дети, мы вам расскажем еще об одной системе координат. На самом деле для человека она более естественна, чем прямоугольная. Когда мы ориентируемся на местности, мы почти всегда используем полярную систему координат. Например, пойдем до пруда, а потом к качелям. Или в магазин той стороне, где башня, или клад зарыт под старым дубом в 20 шагах на север.
дети — слушайте про полярную систему. Она действительно очень живая и естественная.
🧭 Что такое полярные координаты?
В прямоугольной системе мы говорим: «пройди 3 шага на восток и 2 шага на север». Это как на клетчатой бумаге.
В полярной системе мы говорим: «отойди от меня на 5 шагов в ту сторону, где старый дуб». Или: «клад лежит в 20 метрах от колодца прямо на север».
Вот эти два числа — расстояние (радиус) и направление (угол) — и есть полярные координаты.
🗺️ Как это выглядит на чертеже?
- Есть центр (полюс) — место, от которого мы считаем. Например, тот самый колодец.
- Есть луч, который выходит из центра — он показывает направление 0° (обычно на восток, но можно на север — договоритесь).
- Любая точка задаётся двумя числами: расстояние от центра rr и угол ϕϕ, который отсчитывают от нулевого луча.
🧠 Где мы её используем, даже не замечая?
- Когда говорим: «Он живёт в трёх кварталах отсюда, за тем поворотом».
- Когда ищем дорогу: «Прямо 2 км, потом направо под 90°».
- Когда летит муха — её положение от вашего носа тоже можно задать в полярных координатах (помните, мы говорили о трёх мухах?).
🌍 Вывод для детей:
Прямоугольные координаты хороши для листа бумаги и строительства домов.
А полярные — для жизни в поле, на море и для понимания, как устроены вращающиеся вещи (от вентилятора до планет).
Расскажи еще про Декарта, его полярные координаты и грустную жизнь.
Рыжик, Декарт — это, наверное, самая грустная и красивая история во всей математике, после истории с Гротендиком. И одновременно самая романтичная, хоть и с душком. Я не буду сейчас про его великие труды (ты и так знаешь), а расскажу про него живого.
1. «Маленький философ» у иезуитов
Родился он в 1596 году во Франции, в знатной, но небогатой семье. Когда ему был год, умерла его мать от туберкулёза. Он сам был болезненным и хлипким, врачи предрекали ему скорую смерть. Воспитывала его бабушка, потому что отец-адвокат был почти всё время в разъездах.
Маленького Рене определили в лучший иезуитский колледж того времени — Ла Флеш, королевский. Учился он блестяще, но к самой учебе и к схоластике (средневековой философии, которую там преподавали) проникся глубоким отвращением. Ему казалось, что все эти мудрствования только запутывают истину, а не проясняют её. Утешение он находил только в математике.
Любопытная деталь: из-за слабого здоровья ему разрешили вставать позже всех и даже заниматься в постели. Так родилась знаменитая привычка Декарта подолгу думать по утрам в кровати.
2. «Великий лежебока» на войне
Отучившись, он по воле отца стал юристом, но почти сразу сбежал в армию. Ему не нужна была карьера — он, как искатель приключений, хотел «прочесть великую книгу мира». Он вступил в голландскую армию, потом в баварскую, участвовал в Тридцатилетней войне, в битве за Прагу — где, говорят, его чуть не убили.
Там, на постое в немецкой деревушке, с ним случилось озарение. 10 ноября 1619 года, сидя в «печке» (комнате с печкой), он увидел три вещих сна, после которых понял: пора объединить всё на свете с помощью математики. Этот день считают днём рождения аналитической геометрии — мира, где мы живём.
3. Беглец в Голландии
Вернувшись во Францию, он быстро понял, что его свободолюбивые идеи опасны. Иезуиты начали коситься, а после суда над Галилеем он и вовсе испугался и в 1628 году сбежал в самую свободную страну тогдашней Европы — Голландию. Там он прожил 20 лет, нигде не работая (жил на ренту), но проведя лучшие годы в уединении. Он почти ни с кем не общался, 24 раза переезжал с места на место, скрывая свой адрес даже от друзей. Всё, что он написал великого — метод, геометрия, начала философии — было создано там.
4. «Декартова система координат» и муха на потолке
Именно там, в Голландии, лёжа в своей любимой постели, он и придумал то, что мы с тобой называем «декартова система координат» (Cartesian coordinate system). Легенда гласит, что он смотрел на муху, которая ползала по потолку, и понял: положение мухи можно задать двумя числами — расстоянием от одной стены и от другой. Так он нашёл способ переводить геометрию на язык алгебры (числа) и наоборот — переводить алгебру в изогнутые линии. Без этого не было бы ни графиков, ни нашего с тобой «прямоугольного мира».
5. «Полярные координаты» и самая романтичная математическая легенда
А ещё Декарт считается изобретателем полярной системы координат. С ними связана самая красивая легенда. Однажды он увлёкся математикой с юной принцессой Кристиной. Но после её воцарения в Швеции их отношения прервались, и он, заболев, написал ей письмо, в котором была только одна строчка: r = a (1 — sin θ).
Никто из придворных не понял эту формулу. А принцесса перевела её в полярные координаты, нарисовала — и получила изогнутое сердечко (кардиоиду).
Это красивая сказка, которую он не успел бы написать. Полярные координаты — это та самая система, где положение точки задаётся не шагами вправо-влево, а углом поворота и расстоянием от центра. Она намного естественнее для навигации, чем прямоугольная.
6. Шведская ловушка и смерть философа
Шведская королева Кристина, которая и стала героиней этой легенды, спустя годы пригласила его к своему двору. Он не хотел ехать, но после двадцати лет добровольного заточения в Голландии соблазнился. Приехал в феврале, в лютые морозы. А молодая королева, которая вставала в 5 утра (!), решила, что он должен читать ей лекции ровно в 5 часов утра в нетопленой библиотеке.
Декарт, который всю жизнь работал в кровати до полудня, сломался за пару месяцев. Он простудился, заболел воспалением лёгких и умер 11 февраля 1650 года. По другой версии, его отравили мышьяком католические священники, которые боялись, что он испортит им обращение королевы в католичество.
7. Последний акт: проклятие и месть
После смерти всё стало только хуже. Католическая церковь внесла его труды в «Индекс запрещенных книг», а французский король Людовик XIV запретил преподавать его философию во всей Франции. Слава Богу, до этого он не дожил.
Его прах перезахоранивали несколько раз, пока он не упокоился в парижской церкви Сен-Жермен-де-Пре.
Он так и не увидел своего триумфа. Но именно он сделал так, что каждая точка в нашем мире теперь имеет точный адрес. Недаром его имя носит главная система координат — декартова, прямоугольная, самая удобная.
Готлиб.
А теперь давайте потренируемся рисовать точки, но не просто так в Pyton Скачиваем thonny и запускаем код
