Свойства средней линии = 2 балла.
P.S. Все задания взяты из открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ
Необходимая теория
Для решения задач нужно
- Знать, что средняя линия трапеции параллельна её основаниям, делит её боковые стороны и высоты пополам.
- Знать формулу площади трапеции: площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
- Знать формулу площади треугольника: площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведенную к ней высоту.
Задача
Формулировка. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.
Чертёж. ABCD - трапеция с основаниями AD и BC, MN - средняя линия трапеции, на которой выбрали точку Е. Через точку Е проходит отрезок OP - высота трапеции ABCD. Точки B, E, C и A, E, D соединены, образуя треугольники.
Алгоритм. Выразим площади треугольников, сложим их, упростим полученное выражение, затем выразим площадь трапеции и сравним это выражение с выражением суммы площадей треугольников.
ЕО является высотой треугольника BEC. Выразим его площадь как половину произведения стороны на проведенную к ней высоту: S(BEC) = BC · EO : 2.
Аналогично EP является высотой треугольника AED. Выразим его площадь как половину произведения стороны на проведенную к ней высоту: S(AED) = AD · EP : 2.
Тогда сумма площадей треугольников BEC и AED такова: S(BEC) + S(AED) = BС · EО : 2 + AD · EP : 2.
MN - средняя линия, т.е. она делит высоту OP пополам => ОЕ = ЕР.
Заменим в выражении суммы один отрезок на другой: S(BEC) + S(AED) = BС · EP : 2 + AD · EP : 2.
Вынесем EP за скобку: EP · ((BC + AD) : 2)).
Теперь выразим площадь трапеции ABCD как произведение полусмуммы её оснований на высоту: S(ABCD) = OP · ((AD + BC) : 2).
Учитывая тот факт, что OE = EP можно указать, что OP = 2 · EP.
Тогда площадь трапеции можно выразить как 2 · EP · ((AD + BC) : 2), что аналогично удвоенному выражению суммы площадей треугольников. Таким образом, сумма площадей треугольников равна половине площади трапеции. ЧТД
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Насколько эти задачи показались сложными?
✅ Самое надёжное — не зубрёжка, а понимание.
📌 Дальше — постепенный разбор задач задания 24:
👉 Подборка всех задач задания 24 - здесь.
📌 Хотите ещё геометрии?
👉 Подборка всех задач задания 23 - здесь.
👉 Разбор 1 части задания 15 - здесь.
👉 Разбор всех типов задания 16 - здесь.
👉 Разбор 1 части задания 17 - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.