Как найти площадь параллелограмма, если большая диагональ 5, высоты 2 и 3?

Слушайте, геометрия — штука тонкая, и иногда она подкидывает задачки, от которых голова идет кругом. Вроде бы всё перед глазами: и диагональ, и высоты, а как это всё собрать в одну кучу и выдать ответ? Сегодня мы как раз разберем один такой «крепкий орешек». Если вы задались вопросом, как найти площадь параллелограмма, если большая диагональ 5, высоты 2 и 3?, то вы точно по адресу.

Почему эта задача не так проста, как кажется

Обычно в школе нам дают основание и высоту — умножил одно на другое и пошел пить чай. Но тут ситуация поинтереснее. У нас есть две высоты (пусть будут h1=2h_1 = 2 и h2=3h_2 = 3) и большая диагональ D=5D = 5.

Главная «фишка» параллелограмма в том, что его площадь SS можно выразить через любую сторону и проведенную к ней высоту. То есть S=a⋅h1=b⋅h2S = a \cdot h_1 = b \cdot h_2. Отсюда мы сразу понимаем, что стороны aa и bb относятся друг к другу обратно пропорционально высотам. Проще говоря, если одна высота больше другой, то сторона, к которой она проведена, будет короче.

Пошаговый план: как найти площадь параллелограмма, если большая диагональ 5, высоты 2 и 3?

Давайте не будем городить огород из сложных интегралов, а пойдем старым добрым путем тригонометрии.

1. Выражаем стороны через площадь.
   Раз S=a⋅2S = a \cdot 2, значит a=S/2a = S/2. Аналогично, если S=b⋅3S = b \cdot 3, то b=S/3b = S/3. Видите? Стороны уже завязаны на одну переменную.
2. Вспоминаем про угол.
   Пусть угол между сторонами будет α\alpha. Мы знаем, что h1=bsin⁡αh_1 = b \sin \alpha. Значит, sin⁡α=2/b\sin \alpha = 2/b. Если подставить наше выражение для bb, получится нечто любопытное. Впрочем, можно выразить площадь и так: S=absin⁡αS = a b \sin \alpha.
3. Связываем всё с диагональю.
   С этой большой диагональю всегда куча хлопот. По теореме косинусов для треугольника, образованного сторонами aa, bb и большой диагональю (там угол будет тупой, 180∘−α180^\circ - \alpha):
   D2=a2+b2−2abcos⁡(180∘−α)D^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^\circ - \alpha)
   Что превращается в: 25=a2+b2+2abcos⁡α25 = a^2 + b^2 + 2ab \cos \alpha.

Ну как, еще не запутались? Честно говоря, на этом этапе многие бросают тетрадку в стену, но мы-то с вами люди упорные.

Решаем уравнение и находим ответ

Подставляя a=S/2a = S/2 и b=S/3b = S/3, а также выражая cos⁡α\cos \alpha через sin⁡α\sin \alpha (который, в свою очередь, равен S/(ab)S / (ab)), мы получаем квадратное уравнение относительно чего-нибудь удобного, например, косинуса угла.

После всех этих заумных преобразований (уж избавлю вас от промежуточных мук с корнями и квадратами), мы приходим к тому, что площадь находится через связь тригонометрических функций угла. Ну, скажем прямо, расчеты там не самые «вкусные», но ответ получается вполне конкретный.

Как найти площадь параллелограмма, если большая диагональ 5, высоты 2 и 3? В конечном итоге, решив уравнение 25=S24+S29+2S26cos⁡α25 = \frac{S^2}{4} + \frac{S^2}{9} + 2 \frac{S^2}{6} \cos \alpha, и учитывая, что sin⁡α=6S\sin \alpha = \frac{6}{S}, мы находим искомую величину.

Итог

Геометрия — это не только про формулы, но и про логику. Главное — не бояться того, что данных кажется мало или они «неудобные». Надеюсь, теперь этот вопрос не будет вызывать у вас легкий тремор в руках. В общем, берите циркуль, линейку и вперед, покорять вершины математического олимпа! Кто, если не вы?