Какое наименьшее число рёбер тетраэдра придется пройти дважды (см. рис.)?

Слушайте, геометрия — штука тонкая, и иногда она подкидывает задачки, которые с виду кажутся проще пареной репы, а на деле заставляют неслабо так почесать затылок. Вот взять хотя бы наш случай. Представьте себе обычную пирамидку — тетраэдр. У него четыре вершины и ровно шесть красивых, ровных ребер. И тут возникает вопрос на засыпку: Какое наименьшее число рёбер тетраэдра придется пройти дважды (см. рис.)?, если мы хотим прошагать по каждому ребру хотя бы один раз и при этом не умеем летать по воздуху?

Математика — это не только цифры, но и логика

Знаете, в теории графов есть такая забавная штука, как Эйлеров путь. Если говорить по-простому, это когда вы пытаетесь нарисовать фигуру, не отрывая карандаша от бумаги. Чтобы фокус удался, у фигуры должно быть либо вообще ноль, либо ровно две «неправильные» вершины (те, где сходится нечетное количество линий). А у нашего тетраэдра — вот незадача! — в каждой из четырех вершин сходятся по три ребра. Все вершины нечетные, понимаете?

Глядя на чертеж, сразу соображаешь: ну не получится пройти всё одним махом, не возвращаясь назад. А значит, придется «хитрить» и удваивать маршрут. Задаваясь вопросом, какое наименьшее число рёбер тетраэдра придется пройти дважды (см. рис.)?, мы фактически ищем способ превратить этот колючий граф в проходимый.

Как же найти правильный ответ?

Честно говоря, решение тут изящное до невозможности. Смотрите сами:

• Каждое повторное прохождение ребра — это как бы добавление еще одной линии между двумя вершинами.
• Если мы пройдем одно ребро дважды, то две вершины, которые оно соединяет, вдруг станут «четными» (было 3 дороги, стало 4).
• Опа! Осталось всего две нечетные вершины. А это как раз то, что доктор прописал для успешного завершения прогулки.

Так что, отвечая на сакраментальное «Какое наименьшее число рёбер тетраэдра придется пройти дважды (см. рис.)?», можно смело заявить: одного ребра вполне достаточно. Главное — выбрать правильный старт и финиш в тех точках, которые остались «одинокими».

В общем, не так страшен черт, как его малюют в учебниках. Немного логики, капля воображения — и вот вы уже щелкаете такие задачки как орешки. А ведь казалось бы, просто пирамидка, верно? Если в следующий раз застрянете на подобном, просто вспомните про старину Эйлера и его правила игры. Желаю удачи в покорении геометрических вершин!