Часть 4 из цикла «Разбор задания №17: четырёхугольники»
Квадрат — самая «правильная» фигура. Он сочетает свойства прямоугольника и ромба. В задании №17 квадрат встречается в задачах на нахождение сторон, диагоналей, площадей, а также в связке с окружностями. Разберём всё по порядку.
Что такое квадрат?
Квадрат — это четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые (по 90°).
Квадрат — частный случай:
· параллелограмма (противоположные стороны параллельны);
· прямоугольника (все углы прямые);
· ромба (все стороны равны).
Все свойства квадрата (для ОГЭ)
1. Все стороны равны: AB = BC = CD = DA.
2. Все углы = 90°.
3. Противоположные стороны параллельны.
4. Диагонали равны.
5. Диагонали перпендикулярны (пересекаются под прямым углом).
6. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
7. Диагонали являются биссектрисами углов (делят углы 90° на 45°).
8. Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника.
Основные формулы для квадрата
Сторона квадрата = a.
Диагональ квадрата: d = a√2.
Периметр: P = 4a.
Площадь: S = a² = d² / 2.
Квадрат и окружности
Описанная окружность (вокруг квадрата). Центр — точка пересечения диагоналей. Радиус описанной окружности R равен половине диагонали: R = d/2 = a√2 / 2 = a / √2.
Вписанная окружность (внутри квадрата). Центр — та же точка. Радиус вписанной окружности r равен половине стороны: r = a/2.
Лайфхак: отношение R / r = √2. Это может пригодиться в задачах.
Типичные ловушки в задании №17
Ловушка 1. «Любой ромб является квадратом» — неверно. У ромба углы не обязательно прямые.
Ловушка 2. «Любой прямоугольник является квадратом» — неверно. Стороны прямоугольника не обязаны быть равными.
Ловушка 3. «Диагонали квадрата не равны» — неверно. Равны.
Ловушка 4. «У квадрата только одна ось симметрии» — неверно. У квадрата 4 оси симметрии.
Примеры задач из ОГЭ 2024–2025
Пример 1 (нахождение диагонали).
Сторона квадрата равна 8 см. Найдите диагональ.
Решение: d = a√2 = 8√2 см.
Ответ: 8√2.
Пример 2 (площадь квадрата через диагональ).
Диагональ квадрата равна 12 см. Найдите площадь.
Решение: S = d² / 2 = 144 / 2 = 72 см².
Ответ: 72.
Пример 3 (квадрат и описанная окружность).
Сторона квадрата равна 6 см. Найдите радиус описанной окружности.
Решение: R = a√2 / 2 = 6√2 / 2 = 3√2 см.
Ответ: 3√2.
Пример 4 (квадрат и вписанная окружность).
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 5 см. Найдите сторону квадрата.
Решение: r = a/2 → a = 2r = 10 см.
Ответ: 10.
Пример 5 (ОГЭ 2025).
Периметр квадрата равен 32 см. Найдите его диагональ.
Решение: P = 4a → a = 32 / 4 = 8 см. d = a√2 = 8√2 см.
Ответ: 8√2.
---
Резюме: все типы задания №17 на ОГЭ
Чтобы успешно решать задание №17, нужно различать четыре основные фигуры. Вот их ключевые свойства в сжатом виде.
Параллелограмм
· Противоположные стороны равны и параллельны.
· Противоположные углы равны.
· Сумма углов при одной стороне = 180°.
· Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
· Диагонали НЕ равны (кроме прямоугольника).
· Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник.
Пример задачи: В параллелограмме угол A = 50°. Найдите угол B.
Решение: 180° − 50° = 130°.
Прямоугольник
· Все свойства параллелограмма.
· Все углы = 90°.
· Диагонали равны.
Пример задачи: В прямоугольнике диагональ = 10 см, одна сторона = 6 см. Найдите вторую сторону.
Решение: по теореме Пифагора: √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8 см.
Ромб
· Все свойства параллелограмма.
· Все стороны равны.
· Диагонали перпендикулярны.
· Диагонали являются биссектрисами углов.
Пример задачи: В ромбе сторона = 5 см, одна диагональ = 6 см. Найдите вторую диагональ.
Решение: половинки диагоналей: 3 см и x. По Пифагору: 3² + x² = 5² → 9 + x² = 25 → x² = 16 → x = 4. Вторая диагональ = 8 см.
Квадрат
· Все свойства прямоугольника и ромба.
· d = a√2.
· S = a² = d²/2.
· Радиус описанной окружности R = a/√2.
· Радиус вписанной окружности r = a/2.
Пример задачи: Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 10√2 см.
Решение: d = a√2 → 10√2 = a√2 → a = 10 см. S = 100 см².
Универсальный алгоритм для задания №17
1. Определите, о какой фигуре идёт речь.
2. Вспомните её уникальные свойства (например, для прямоугольника — равенство диагоналей).
3. Если задача на выбор верных утверждений, проверяйте каждое на контрпримере.
4. Если задача на вычисление — записывайте формулу и подставляйте данные.
5. Проверьте размерность и разумность ответа.
Итог: Запомните иерархию: квадрат → прямоугольник/ромб → параллелограмм → трапеция. Чем уже фигура, тем больше у неё свойств. Тренируйтесь на свежих вариантах ФИПИ, и задание №17 не будет проблемой.
Удачи на ОГЭ 2026!