Недавно в международном Журнале физики конденсированного состояния (Journal of physics. Condensed matter: an Institute of Physics journal), входящем во второй квартиль ведущих научных изданий по версии Scopus, вышла статья доцента кафедры Физики наноразмерных систем ЮУрГУ, кандидата физико-математических наук Александра Полякова.
Его работа посвящена «построению трёхмерного паркета Пенроуза из трёхмерных звёзд с помощью сумм Минковского». Звучит как фантастика, но эта математическая теория имеет непосредственное прикладное значение, например, при создании квазикристаллов, которые могут послужить основой для создания материалов будущего.
Попробуем понять, о чём здесь речь и причём тут фракталы, известные сегодня даже школьникам благодаря урокам информатики.
Тридцать лет назад физик Даниил Шехтман открыл странные кристаллы с неожиданными для классического случая осями симметрии – пятого порядка.
Если спроектировать картину, возникает задача замощения плоскости мозаикой Пенроуза, а именно двумя типами ромбов с углами 36°/144° и 72°/108°. Главная особенность: узор не повторяет себя при сдвиге (нет трансляционной симметрии), но обладает «дальним порядком» и пятикратной симметрией — именно такая структура идеально описывает расположение атомов в диагональных квазикристаллах.
Теперь распространим задачу на одну размерность выше: получится замощение пространства ромбоэдрами или трехмерным паркетом Пенроуза.
Для того чтобы описать такой «тетрис», понадобятся фракталы. Фрактал – бесконечная самоподобная фигура, повторяющая саму себя на каждом новом уровне. Например, пятиконечная звезда состоит из пятиконечных звёзд (см. рисунок), а каждая из них – из таких же звёзд и так далее до бесконечности.
В трёхмерном случае возникают трёхмерные звёзды – додекаэдры со «звёздчатыми» гранями.
Для моделирования таких фракталов Александр Поляков использовал суммы Минковского. В этом случае из пары многоугольников или многогранников получается новый, их «обобщающий».
При описании многогранников и их симметрий применялись и последовательности Фибоначчи, и группы Клейна и другие замечательные алгебраические объекты.
Моделирование квазикристаллов поможет проникнуть не только в тайны природы (а они встречаются в полезных ископаемых, например, в сочетании железа-меди-алюминия), но и моделировать принципиально новые вещества, металлорганические каркасы и т.д.
Остап Давыдов
https://doi.org/10.1088/1361-648X/ae56c7