Как найти вероятность, что сделав 4 выстрела, стрелок попадет два раза?

Ох уж эта математика, вечно она подкрадывается незаметно, когда её совсем не ждешь. Представьте ситуацию: вы стоите в тире, в руках винтовка, перед глазами мишени, а в голове вертится дурацкий вопрос из учебника. Ну, знаете, из тех самых, где нужно точно рассчитать шансы на успех, прежде чем нажать на спусковой крючок. На самом деле, разобраться в том, как найти вероятность, что сделав 4 выстрела, стрелок попадет два раза?, не так уж и сложно, если не пугаться громоздких формул и включить немного здравого смысла. Тут ведь как в жизни: либо попал, либо промазал, третьего не дано, если, конечно, вы не стреляете в параллельной вселенной.

Слушайте, всё это дело крутится вокруг одного парня по фамилии Бернулли. Он еще в те времена, когда люди ходили в париках, придумал схему, которая идеально описывает наши пострелушки. Суть проста: у нас есть серия независимых попыток. Это значит, что если вы первый раз бахнули «в молоко», то это никак не влияет на то, попадете ли вы во второй. Чтобы понять, как найти вероятность, что сделав 4 выстрела, стрелок попадет два раза?, нам первым делом нужно знать «скилл» нашего стрелка. В математике это называют вероятностью успеха в одном испытании и обозначают буквой pp. Соответственно, вероятность промаха — это qq, которая находится как 1−p1 - p.

Допустим, наш стрелок — парень не промах и попадает с вероятностью p=0.7p = 0.7. Тогда промахивается он с вероятностью q=0.3q = 0.3. Общее число выстрелов у нас n=4n = 4, а количество попаданий, которое мы жаждем увидеть, k=2k = 2. Вот тут-то и начинается самое интересное. Мы не просто перемножаем цифры, а должны учесть, в каком именно порядке эти попадания произошли. Он мог попасть первые два раза и промазать остальные, а мог — первый и последний. Вариантов, честно говоря, целая куча. Для этого умные люди используют число сочетаний.

Разбираемся на пальцах: как найти вероятность, что сделав 4 выстрела, стрелок попадет два раза?

Чтобы не гадать на кофейной гуще, мы берем формулу сочетаний CnkC_n^k. Для нашего случая это выглядит так: C42=4!2!(4−2)!C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!}. Если отбросить все эти страшные восклицательные знаки (факториалы), то получится ровно 6. То есть существует шесть разных способов выбить две мишени из четырех. Теперь, когда мы знаем количество комбинаций, пора собрать всё в кучу. Мы берем эти 6 способов и множим на вероятность попадания в квадрате (потому что их два) и на вероятность промаха тоже в квадрате.

Сама формула Бернулли в окончательном виде выглядит довольно элегантно:
P4(2)=C42⋅p2⋅q4−2P_4(2) = C_4^2 \cdot p^2 \cdot q^{4-2}
Подставляем наши цифры:
P4(2)=6⋅(0.7)2⋅(0.3)2P_4(2) = 6 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^2
Если вы не забыли, как пользоваться калькулятором (или хотя бы столбиком), то получится 6⋅0.49⋅0.096 \cdot 0.49 \cdot 0.09, что дает нам примерно 0.26460.2646. То есть шансы ровно на два попадания составляют около 26.5 процента. Вот так, без лишней пыли и шума, решается эта задачка.

Пример из жизни или как найти вероятность, что сделав 4 выстрела, стрелок попадет два раза?

Знаете, что самое забавное? В реальности всё может пойти наперекосяк из-за ветра, дрожащих рук или плохого настроения. Но математика — штука упрямая и сухая, ей подавай голые факты. Если вы вдруг решите поспорить с другом на шоколадку в тире, знайте, что вероятность — это не гарантия. Это просто ваш прогноз на долгой дистанции. Если стрелок будет делать по 4 выстрела тысячи раз, то в двадцати шести процентах случаев он выбьет именно две мишени.

Короче говоря, когда вас в следующий раз спросят, как найти вероятность, что сделав 4 выстрела, стрелок попадет два раза?, вы можете смело блеснуть чешуей и рассказать про старину Бернулли. Главное — помнить три вещи: вероятность одного успеха, общее количество попыток и число нужных вам удач. Всё остальное — дело техники и пары минут расчетов на салфетке. А в тире лучше просто расслабиться и получать удовольствие, ведь никакие формулы не заменят радости от точного выстрела прямо в «десяточку», верно?