Наследие учёных прошлого иногда остаётся невостребованным годами или даже столетиями. Поэтому не удивительно, что математическое пространство, в котором живут наши дети и мы сами, очень много теряет из-за этого.
Уже во вторник, 2.06.2026 года, а также в понедельник, 8.06.2026 года, состоятся экзамены по математике у выпускников девятых и одиннадцатых классов соответственно. И мне захотелось поделиться с ними (и с Вами тоже) интересной формулой, о которой я никогда раньше не писала.
Если Вы впервые на моём канале, то давайте знакомиться. Меня зовут Ольга, мне 60 лет, я пишу обо всём, что мне интересно: о математике, об образовании, о людях, о животных, о своём творчестве, о шахматах, о ЗОЖ, о путешествиях, о жизни на пенсии, о спорте, о фильмах и телепередачах.
Почему возникла идея её применения?
Дело в том, что у меня есть один ученик, папа которого поставил для сына и меня, его репетитора, амбициозную задачу - заниматься по усложнённой программе, изучая материалы олимпиад. Сразу скажу, что готовить детей к олимпиадам чрезвычайно сложно, а в некоторых случаях просто невозможно.
Во-первых, нужно быть самому отчасти одарённым математиком или хотя бы математиком, способным к обучению и восприятию нового. Мыслить в границах олимпиад - это совсем не то же, что решать задачи "школьной" математики. Знаете, можно для сравнения вспомнить мою любимую игру "Шахматы". В ней, как говорит мой тренер, можно выучить теорию, научиться делать правильные ходы, не ошибаться, но при этом выигрывать редко. Если у шахматиста отсутствует интуиция, у него нет творческой жилки, и его, говоря образно, не начинает трясти от замаячившей возможности ошеломить противника внезапным ходом, то финал партии может стать не таким, как планировалось.
Во-вторых, результативно обучать решениям олимпиадных задач, ИМХО, можно только одарённых детей. Не поймите меня неправильно, можно показывать олимпиадные задачи всем подряд. Но для чего? Тем, кто в этом не заинтересован, это делать бесполезно. Им реально сложно, хочется психануть и всё бросить. Другое дело, когда ученик за партой скучает и грустит от того, что всё рассказанное учителем элементарно, он это уже знает, его мозг требует ещё больше информации. В этом случае стоит подумать о том, как загрузить его головушку новыми идеями. Нужен наставник.
Итак, весь прошлый год, воспользовавшись сборником "Олимпиадная математика. 6–7 классы. Задачник 6-7.2019" (ученик был семиклассником), мы получали базовые знания по арифметике, алгебре, геометрии. Вот такое интересное оглавление у этой книги.
Я не могу сказать, что это было сложно потому, что это было архисложно. В некоторых случаях приходилось обращаться к ИИ, который несколько секунд вращал колёсико, потом что-то рассуждал, раскладывая решение на этапы, а потом изрекал: "Давайте решим что-нибудь другое". Как Вам такое? ИИ не справился с задачей! Неожиданно.
Часть этого учебного года началась с проработки нового задачника того же автора, что и первый - "Олимпиадная математика. 8 класс. Задачник 8.2019".
Темы этого издания были такими же, как и предыдущие, но уже для более углублённого изучения, сложнее.
Потом, спустя пару месяцев, пришло осознание, что нам нужно больше геометрии, и я нашла задачи Московских Математических Олимпиад с 2009 года по 2024 год, что называется "свежие". При обращении к ним я увидела в авторах того же человека, И. В. Яковлева, который собрал в сборники разбираемые нами ранее задания.
Знаете, год прошёл не зря. Эти "новые" задачи показались нам легче. Решение находилось быстро, доказательства давались легче. И ещё. Многие задачи, особенно по геометрии, показались нам красивыми. Ученик прямо так и говорил: "Какое красивое решение!"
Он впитывал, как губка, запоминал, но применять знания получалось не часто, как раз на его олимпиадах. Он даже обрадовался тому, что знает, как решать.
Задача, которая его потрясла и дала механизм для вычислений "школьных" упражнений
Задача. Будем называть точку плоскости узлом, если обе её координаты — целые числа. Внутри некоторого треугольника с вершинами в узлах лежит ровно два узла (возможно, какие-то ещё узлы лежат на его сторонах). Докажите, что прямая, проходящая через эти два узла, либо проходит через одну из вершин треугольника, либо параллельна одной из его сторон.
При решении геометрических задач я советую в первую очередь начинать с рисунка. Ниже показаны некоторые треугольники, удовлетворяющие условию задачи. Зелёным цветом выделены их вершины, расположенные в узлах координатной плоскости (координатной решётки). Расстояние между линиями равно одной условной единице, например, одному сантиметру. Красным цветом выделены внутренние узлы.
Доказательство
Случай первый, когда прямая проходит через внутренние узлы и вершину, попробуйте доказать самостоятельно. Это не просто, но интересно.
Случай второй. Как же доказать, что прямая, проходящая через внутренние узлы будет параллельна стороне треугольника? И здесь мой мозг внезапно преподнёс подсказку. Дело в том, что понятие узла решётки он связал с именем австрийского учёного Георга Пика.
Об этом австрийском математике можно прочитать в Википедии. Его наследие огромно, и в нём есть место удивительной теореме, позволяющей современным школьникам легко вычислять площади многоугольников, причём не только выпуклых, имеющих вершины в узлах координатной плоскости. Я имею в виду задачи на квадратной решётке.
Вернёмся к задаче. Для доказательства нам потребуется так называемая Формула Пика (или Теорема Пика), которую Георг Пик доказал в 1899 году.
Формула Пика
Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна В+Г/2-1, где В - количество целочисленных узлов внутри многоугольника, а Г - количество целочисленных точек на границе многоугольника.
Прямая, проходящая через внутренние узлы, пересекает две стороны треугольника, а третью сторону не пересекает. Сделаем дополнительные построения. Концы отрезка АС - той стороны, которую наша прямая не пересекает соединим прямыми с внутренними узлами D и E. Получим 2 треугольника ADC и AED. Они имеют равные площади по Формуле Пика, так как не имеют внутренних узлов, а количество узлов на границе одинаковое (AC - общее основание треугольников). В таком случае высоты этих треугольников имеют одинаковую длину, значит, точки D и E находятся на одинаковом расстоянии от стороны AC. Следовательно, прямая DE параллельна стороне AC.
Правда, красиво?
Я спросила у ученика: "Рассказывал ли его школьный учитель хотя бы раз об этой формуле?" И получила отрицательный ответ.
Потом я задала этот же вопрос другим ученикам с восьмого по одиннадцатый класс. Ответы были такими же. Ни один из учителей не рассказывал об этой полезной, особенно на экзаменах, формуле.
Смотрите. Вот несколько задач из экзаменационных заданий.
Как предлагают решать эту задачу учителя?
Здесь возможны 2 варианта. 1) Можно описать около этого многоугольника квадрат, найти его площадь. Потом найти площади незакрашенных треугольников и вычесть их из площади квадрата. 2) Можно разрезать фигуру на части и вычислить площади этих частей.
Нудно, долго. А мы применим Формулу Пика. Вычислим количество внутренних (В) и граничных (Г) узлов.
Ещё задача.
Странная фигура. Не правда ли? Очень сложны решения, предлагаемые учителями, не рассказывающими о Формуле Пика. Но для нас она не составит труда. Смотрите. Внутренних узлов нет вообще. Граничных всего 4.
Значит, 4/2-1=1. Устная задача.
Задачи для девятого класса, связанные с решёткой, решаются так же. Или по формулам из официальной шпаргалки.
А что делать, если размеры клетки не 1х1 а, например, 2х2 или 3х3?
Нужно вычислить площадь фигуры так же, как для случая 1х1, а потом умножить на квадрат коэффициента подобия: для 2х2 - на 4, для 3х3 - на 9 и так далее.
Владейте Формулой Пика и наслаждайтесь математикой!
А Вам об той формуле рассказывали учителя?