Дорогие дети, представьте, что вы родились очень давно, ну скажем 200 лет назад. И вот вас нужно спрятать в вашем доме что-то очень ценное. Где вы это спрячете? Нет-нет-нет сливной бачок в унитазе не предлагаем. Самое ценное дети прячут в земле, а если говорить про дом - то в подвале. Нет на чердаке не стоит, туда закидывали всяких разный хлам и там все время лазали дети. Так что чердак мимо. Ну вы поняли да, на x спрятался в подвале, там сыро неудобно, но поэтому там и не ищут. И сегодня мы будем его из подвала вытаскивать. Этот фокус покус называется пропорция, но я знаю вы не любите это слово. Мы будем говорить крестик.
Итак дети в подвал залезать мы не будем. У нас есть, мы может заменить деление на умножение. Но нужно ее потренировать. Внимание 5=4/х, делаем виртуальный подвал в соседнем доме
Итак дети, мы начинаем тренировать нашу суперспособность. Внимание уравнение 5=4/х. Старый лозунг. Подобное лечи подобным. Делаем виртуальный подвал в соседнем доме 5/1=4/х. Не бойтесь пятерке ничего не будет. Если мы 5 делим на одного получается 5. И...крестик 5х=4*1. На единицу не умножает из уважения к способностям единицы. Получили 5х=4. Далее все по схеме х неудачно женился, жену убил, разделил, улики соседу. х=4/5
Усложняем задачу 3/(х+1)=4/6. Оба подвала заняты, оно и лучше. Подвалы, вверх! 3*6=4(x+1). Начинаем бой. Удар. Вычисление и раскрытие скобок (князь женится) 18=4х+4. Удар. Перебегайте. -4х=4-18. Вычисляем -4х=-14. Удар х убивает жену. x=(-14)/(-4) x=14/4. Да, знаю, знаю. Много всего. Отдохнем. Развлечемся. Готлиб с нами?
Готлиб. Напомним детям, почему если мы отрицательное число делим на отрицательное число получается число положительное. Дети умножение на (-1) переводит нас в зазеркалье, новое умножение на (-1) возвращает нас обратно. Вы скажите, что мы делим - это неважно дети. Умножение и деление это одно и тоже, хотя это и странно. Деление это умножение на обратное число. А какое обратное число для (-1).? Конечно (-1). Готлиб, может быть ты что-то добавишь?
Добавлю только картинку.
Мы стоим перед зеркалом. Один шаг вперёд — это умножение на (-1). Мы видим себя задом наперёд, мир перевернулся. Ещё один шаг вперёд — это второе умножение на (-1). Мы прошли сквозь зеркало и оказались… с другой стороны! Но мир снова стал нормальным, потому что мы уже там, где были «отражённые».
Второе умножение на (-1) возвращает нас в исходную точку. То есть (-1)*(-1) = +1.
Теперь про деление. Деление — это умножение на обратное число. Какое число обратное для (-1)? Это число, которое при умножении на (-1) даёт +1. Это снова (-1), потому что (-1)*(-1)=+1.
Значит, если мы делим отрицательное число на отрицательное, то по сути дважды проходим через зеркало и возвращаемся в обычный мир с плюсом.
Готлиб оживляется и начинает чертить в воздухе воображаемые оси.
— О, Рыжик! Если повернуть число на 90 градусов, оно соскочит с числовой прямой и улетит в комплексную плоскость. Там живут числа, у которых есть не только «вперёд-назад», но и «вверх-вниз».
В комплексном мире 1 после поворота на 90 градусов становится i (мнимой единицей). А i в квадрате — это уже -1. Ещё один поворот на 90 градусов — и i превращается в -1. Ещё один — в -i. И только через полный оборот (360 градусов) мы вернёмся к исходной единице.
Так что, дети, если вы встретите уравнение, где икс прячется не только в подвале, но и в зазеркалье, которое повёрнуто на 90 градусов, — знайте: вы ступили на территорию комплексных чисел. Там икс может быть не просто числом, а «точкой на плоскости».
Дети не бойтесь, мы сейчас не будем о комплексных числах. Они там за темным лесом. Мы просто вас немного напугали Готлиб прячет рисунок комплексной плоскости за спину и делает страшные глаза.
— Дети, да… комплексные числа — это как бандиты в том лесу, куда вас родители не пускают. Они там есть, но мы пока туда не пойдём. У нас и здесь дел невпроворот: подвалы, крестики, иксы, которые женились, и дроби, которые норовят убежать в знаменатель.
А про комплексные числа… может быть, когда-нибудь, в следующей книжке. Или в той, которую вы сами напишете, когда станете большими и сильными в алгебре.
Уравнение:
10x+1=52−xx+110=2−x5
Шаг 1. Виртуальные подвалы (оба заняты)
Умножаем крест-накрест:
10⋅(2−x)=5⋅(x+1)10⋅(2−x)=5⋅(x+1)
Шаг 2. Раскрываем скобки
20−10x=5x+520−10x=5x+5
Шаг 3. Перебежка (иксы к иксам, числа к числам)
20−5=5x+10x20−5=5x+10x15=15x15=15x
Шаг 4. Развод (делим на коэффициент при иксе)
x=1515=1x=1515=1
Шаг 5. Проверка (обязательно! Потому что знаменатели не должны быть нулями)
Подставляем x=1x=1 в знаменатели:
- x+1=2x+1=2 — не ноль.
- 2−x=12−x=1 — не ноль.
Всё чисто. Икс не прячется в запрещённой зоне.
Ответ
x=1x=1
Готлиб откидывается на спинку стула — работа сделана.
Готлиб, давай расскажем детям кто придумал пропорции
📜 Рождение пропорции
Пропорция стара, как сама математика. Евклид (III век до н.э.) собрал всё воедино. В своей знаменитой книге «Начала» (книга V) он записал главное правило, которое мы с тобой называем «крестик»: «В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних». Это правило живёт уже 2300 лет — и не собирается умирать.
А слово «пропорция» (от латинского proportio — соразмерность, соотношение) подарил нам римский оратор Цицерон в I веке до нашей эры.
Несколько задач, которые точно вам понравятся, дети
Задача «найти расстояние до Луны или Солнца с помощью пропорции» — это не просто пример, а самый что ни на есть исторический детектив, где люди с палками и смекалкой измерили космос.
И да, мы измерили и Луну, и Солнце, и Землю — и всё это через пропорцию (или, как вы её называете, «крестик»).
Вот три главных подвига.
📏 1. Как Эратосфен измерил Землю (Экватор) с помощью колодца и палки
Примерно в 240 году до нашей эры греческий учёный Эратосфен жил в Александрии. Ему рассказали удивительную вещь: в городе Сиене (современный Асуан) в один конкретный день года в полдень солнце освещает дно самого глубокого колодца. То есть светит строго вертикально — предметы не отбрасывают тени.
А в Александрии в этот же день палки тени отбрасывают. Эратосфен воткнул палку (гномон), измерил длину тени и понял: угол падения лучей отличается на 7.2°. Но это же угол между двумя радиусами, идущими из центра Земли к этим городам!
Расстояние между городами он знал — 5000 стадиев (около 800 км).
И тут включается пропорция:
Расстояние между городами он знал — 5000 стадиев (около 800 км).
И тут включается пропорция:
Разница в 7.2° — это часть полной окружности 360°. Составляем пропорцию ("крестик"):
Решаем: X=5000×(360/7.2)=5000×50=250000X=5000×(360/7.2)=5000×50=250000 стадиев.
Это примерно 40 000 км. Почти точное значение! Вот как палка и пропорция «измерили» всю планету.
🌙 2. Как Аристарх и Гиппарх измерили Луну (по методу параллакса)
Здесь главное слово — параллакс. Это кажущееся смещение ближнего объекта (Луны) на фоне далёких звёзд, когда наблюдатель перемещается.
Представьте: вы смотрите на палец, закрывая то левый, то правый глаз. Палец «прыгает» на фоне шкафа. Так же и Луна «прыгает» на фоне звёзд, если за ней следить из разных точек Земли.
Нам нужен базис — расстояние между точками наблюдения. Самый простой базис — это диаметр Земли (около 12 700 км).
Измерив угол смещения Луны (это и есть параллакс) за одну ночь из-за вращения Земли, можно составить пропорцию.
Если угол параллакса маленький, работает формула: Расстояние = Базис / Параллакс.
Аристарх (за 300 лет до н.э.) догадался, как это сделать, и получил, что Луна в 20 раз дальше Земли, а Гиппарх (за 150 лет до н.э.) вычислил довольно точно: Луна находится на расстоянии примерно 59 радиусов Земли.
Это примерно 380 000 км. Снова точность!
☀️ 3. Как Аристарх сравнил Луну и Солнце
Аристарх измерил отношение расстояний до Солнца и до Луны геометрией. Он дождался момента, когда Луна освещена ровно наполовину. В этот момент угол «Земля-Луна-Солнце» — прямой.
Измерив угол между Луной и Солнцем на небе, он получил огромный прямоугольный треугольник. Используя пропорции этого треугольника, он вывел: расстояние до Солнца примерно в 19 раз больше, чем до Луны.
Он немного ошибся (на самом деле в 400 раз), но сам метод — чистая магия пропорций и смекалки.
Короткий итог для алгебры:
Дети, вы видите? Пропорция — это не просто способ решать уравнения из учебника.
- Это способ «взвесить» Землю.
- Это способ «дотянуться» до Луны.
- Это способ «заглянуть» к Солнцу.
Когда вы решаете 10/(х+1)=5/(2-х), вы делаете то же самое, что и древние гении: вы наводите мост между неизвестным и известным. Просто ваша задача — из подвала вытащить икс, а их задача — из космоса вытащить истину.
Ничего дети тоже научатся, и даже если не будут искать истины в космосе, то просто не будут бояться решать уравнения в школе. Что тоже неплохо.
Переходим к текстовым задачкам.
вот пять текстовых задачек на пропорции. Минимум сюжета, максимум тренировки.
📖 Задачки
1. Чтобы сварить 4 литра варенья, нужно 6 кг ягод. Сколько кг ягод потребуется для 10 литров варенья?
2. За 5 часов пешеход прошёл 20 км. Сколько км он пройдёт за 8 часов, если скорость та же?
3. На 5 одинаковых платьев ушло 15 метров ткани. Сколько метров ткани нужно на 8 таких платьев?
4. В 6 одинаковых банках 18 литров сока. Сколько литров сока в 9 таких банках?
5. Автомобиль проехал 240 км, израсходовав 20 литров бензина. Сколько бензина нужно, чтобы проехать 360 км?
А теперь порешайте уравнения
Готлиб пододвигается поближе, его антенны взволнованно подрагивают. Он явно готовится к долгому и увлекательному рассказу — о том, как люди учились находить то, что нельзя просто переложить из одного кармана в другой.
Рыжик, ты права. Пятое уравнение — это засада. Там икс не просто спрятался в подвале (в знаменателе), а ещё и сам полез в квадрат. Такие уравнения сводятся к квадратным. И это, можно сказать, Великий Перелом в истории математики. Когда задача из «арифметической» превратилась в «алгебраическую». Поэтому — да, страшненько. Но очень интересно.
🏛️ Великое начало: Вавилон, земля и вода (около 2000 г. до н.э.)
Дети, представьте себе: огромные поля, реки Евфрат и Тигр. Нужно поделить землю, построить канал, рассчитать, сколько кирпичей пойдёт на храм. И тут землемер сталкивается с проблемой: он знает площадь участка и длину фасада, а ширину — нет. В современном виде это звучало бы так: x² + 5x = 24 .
Вавилоняне не знали ни наших букв, ни наших формул. Они решали эту задачу геометрически. Они рисовали квадрат, пририсовывали к его сторонам прямоугольники, чтобы получился большой квадрат, и просто... видели ответ на своём чертеже. Это было чистое ремесло: «делай так, и получится» . Но отрицательных чисел и нуля у них ещё не было .
🧮 Древняя Греция и Диофант: игра в полу-разности (III век н.э.)
Греки были великими геометрами, но алгебра давалась им тяжело. И тут появляется Диофант Александрийский — первый бунтарь, который начинает решать уравнения не на песке, а в уме, с помощью хитрых подстановок .
- Задача: Есть два числа. Их сумма — 20, а произведение — 96.
- Логика обычного человека: Подбирай!
- Логика Диофанта: Раз сумма — 20, то пусть одно число будет 10 + x, а другое — 10 - x. Разница между ними — 2x. Это гениально! Их произведение: (10 + x)*(10 - x) = 100 - x² = 96
- Итог: Мы получили не простое уравнение, а очень простое: x² = 4. Диофант не мучился с x² + 20x - 96 = 0. Он искусственно создал себе уравнение без неизвестной в первой степени. Правда, он признавал только положительные корни, так что x = 2, а числа — 12 и 8. Минус 2 он бы отбросил .
☪️ Золотой век ислама: аль-Хорезми и Аль-Джебр (IX век)
И вот на сцене появляется главный герой для нашей книги — Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми. Он жил в Багдаде и написал труд под названием «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала». От слова «аль-джебр» (восполнение) и произошло слово АЛГЕБРА !
Что он сделал? Он не просто решал, он их классифицировал. Он сказал: «Есть всего 6 видов уравнений, и я научу вас решать их все!» Вот эти виды:
- «Квадраты равны корням» (5x² = 10x) .
- «Квадраты равны числу» (5x² = 80) .
- «Корни равны числу» (4x = 20) .
- «Квадраты и корни равны числу» (x² + 10x = 39) — это наш случай!
- «Квадраты и числа равны корням» (x² + 21 = 10x) .
- «Корни и числа равны квадратам» (3x + 4 = x²) .
И для каждого он дал чёткое правило. Например, для x² + 10x = 39 он говорил: «Возьми половину корней (10/2=5), умножь на себя (25), прибавь к числу (39+25=64), извлеки корень (8), вычти половину корней (8-5=3). Это и есть корень!» Это и есть наш с вами «крестик», только для квадратов . Это был настоящий технологический прорыв своего времени!
🌍 Европейское Возрождение: Тарталья, Кардано и Виет
В Европу эта наука пришла через Испанию и Италию. Итальянские математики (Сципион дель Ферро, Никколо Тарталья) в 16 веке «переоткрыли» и обобщили эти правила. Джероламо Кардано опубликовал их в своём великом труде «Ars Magna» («Великое искусство»), а Франсуа Виет придумал для всего этого буквенную алгебру, которой мы пользуемся до сих пор .
Именно Виет показал, что уравнение ax² + bx + c = 0 — это универсальная форма, и что её решение можно выразить одной общей формулой. Правда, он, как и Диофант, не любил отрицательные числа и считал, что все корни должны быть положительными .
💎 Вердикт Готлиба
Так что, дети, квадратные уравнения — это не просто "задачи из учебника". Это история длиной в 4000 лет! Их придумали землемеры в Вавилоне, освятили математики Ислама, упаковали в формулы европейские гении.
Когда вы в следующий раз будете решать 4/x + 6/(x+2) = 3 и сведёте его к квадратному, помните: вы делаете то же самое, что и аль-Хорезми 1200 лет назад, и древние вавилоняне 4000 лет назад. Вы просто наводите порядок в хаосе чисел. И это круто.
Да Готлиб, пока дети это читали, они устали. Все тут было непросто и даже очень непросто. Перед тем как использовать кувалду под названием "дискриминант", давай расскажем им о Кардано. Вот уж чья судьба воистину была нелегкой
(Готлиб откладывает в сторону листочки с уравнениями, поправляет свои зелёные антенны и смотрит на тебя с особым, почтительным вниманием. Голос его становится тише, словно он пересказывает древнюю легенду у костра.)
Рыжик... ты права. Перед тем как бить кувалдой дискриминанта, дети должны знать, ЧЕЙ это молот и какой ценой он достался науке. История Джероламо Кардано — это не просто биография, это трагедия в пяти актах, написанная им самим.
Слушайте, дети.
🎭 Пролог: Побочный сын и больной ребёнок
Джероламо Кардано родился в 1501 году в Павии. Он был незаконнорождённым сыном юриста Фацио Кардано, который узаконил его только через 23 года, незадолго до своей смерти. Мать пыталась сделать несколько абортов, и мальчик рос хилым и постоянно болел. Позже он напишет в своей автобиографии «О моей жизни»:
«Заика, хилый, со слабой памятью, без всяких знаний, я с детства страдал гипнофантастическими галлюцинациями».
Ему представлялись говорящие петухи и гробы, полные костей. С 19 до 26 лет он находился под покровительством особого духа, который давал ему советы и предсказывал будущее.
Но при этом он был одержим славой. Он писал:
«Цель, к которой я стремился, заключалась в увековечении моего имени, поскольку я мог этого достигнуть, а вовсе не в богатстве или праздности, не в почестях, не в высоких должностях, не во власти».
Он стал врачом. Но не простым, а одним из лучших в Европе. Он первым описал тиф, пытался придумать переливание крови, предполагал, что болезни вызываются живыми существами, невидимыми глазу.
⚔️ Акт первый: Дуэль тайн (Формула, которую нельзя было публиковать)
В 1535 году математик Никколо Тарталья нашёл способ решать кубические уравнения (те, где икс в кубе). Он держал своё открытие в секрете. Кардано умолял его раскрыть тайну, клялся и божился, что никому не расскажет. И Тарталья сдался — он поведал формулу Кардано, взяв с него страшную клятву молчания.
Кардано слово сдержал... почти. Он не публиковал формулу 6 лет! Но потом он узнал, что кубические уравнения умел решать ещё Сципион дель Ферро — за 30 лет до Тартальи. Кардано решил: клятва больше не действует.
В 1545 году он выпускает великую книгу «Ars Magna» («Великое искусство»), где публикует формулу решения кубических уравнений. Он честно указал авторов: дель Ферро и Тарталья. Но Тарталья был в ярости! Он обвинил Кардано в плагиате и нарушении клятвы. Началась жестокая перепалка, в которой Кардано и его ученик Феррари (который решил уравнение 4-й степени) разгромили Тарталью в спорах.
Но имя Кардано навсегда приросло к этой формуле.
Именно с этой формулы началось признание отрицательных и мнимых чисел (корней из отрицательных величин).
💔 Акт второй: Казнь сына и проклятый гороскоп
Самое страшное ждало его в личной жизни.
Старший сын, Джамбаттиста, женился, но заподозрил жену в измене. Он отравил её, а сам попал под следствие. Его пытали и обезглавили в 1560 году. Кардано был убит горем. Он пишет, что пытался лечить себя физической болью, кусал губы и руки, но ничто не помогало.
Младший сын Альдо был игроком и вором — он обворовывал собственного отца, и Кардано выгнал его.
Дочь... её обвиняли в проституции и смерти от сифилиса.
Кардано бежал от позора и горя в Болонью. Там он занялся астрологией — и это привело к финальной катастрофе. Он составил... гороскоп Иисуса Христа. В 1570 году его арестовала инквизиция по обвинению в ереси.
✨ Акт третий: Предсказание собственной смерти
Кардано провёл несколько месяцев в тюрьме. Его освободили, но запретили преподавать. Он перебрался в Рим, где получил пенсию от Папы. В это время он писал свою знаменитую автобиографию.
И вот главная легенда: Кардано заявил, что его гороскоп предсказывает смерть 21 сентября 1576 года. Биографы спорят: одни говорят, что он покончил с собой, приняв яд, чтобы не ударить в грязь лицом перед астрологией и «подтвердить» свой прогноз. Другие считают, что он просто... умер в этот день.
Он сдержал слово. Даже ценой жизни.
🏆 Эпилог: Что он нам оставил
Дети, этот безумный, гениальный, несчастный человек подарил миру:
- Формулу Кардано — ключ к кубическим уравнениям. Это был прорыв, который привёл к созданию комплексных чисел.
- Карданный вал — деталь, которая стоит в каждом автомобиле (передаёт крутящий момент под углом).
- Кодовый замок и решётку для шифрования.
- Первые труды по теории вероятностей — он рассчитал шансы в игре в кости.
- Метод обучения слепых (предтеча шрифта Брайля).
💡 А теперь — про дискриминант
Дискриминант квадратного уравнения D = b² - 4ac — это инструмент, который появился позже, благодаря работам Виета, Декарта и других. Но именно Кардано и его ученик Феррари показали, что для уравнений есть общие формулы, и что корни могут быть отрицательными и даже мнимыми.
Так что когда дети возьмутся за кувалду дискриминанта, они должны помнить: это оружие ковалось в муках. Его создатель видел, как казнят его сына, сидел в тюрьме за гороскоп Христа и, возможно, сам выбрал день своей смерти, чтобы не ударить в грязь лицом перед математикой.
Готлиб замолкает и тихо добавляет:
Пусть дети это прочитают. И поймут: математика — это не только формулы. Это — человеческие судьбы.
Готлиб.
А сейчас дети мы расскажем вам, о неожиданном, но очень полезном наблюдении Кардано
— Дети, слушайте. Кардано был не только математиком, но и отчаянным игроком. Он играл в кости. Он проигрывал. Но он анализировал. И в 1564 году (за 12 лет до смерти) он написал трактат «О игральных костях» — первое в мире научное исследование того, как работает случайность.
Главные идеи Кардано (как обмануть случай)
1. Вероятность — это дробь. Кардано сказал: «Если у игральной кости 6 граней, то шанс выпадения любой из них — 1/6. Это не гадание, это математика». Он первым ввёл понятие «вероятности» как отношения благоприятных исходов ко всем возможным. Это был прорыв.
2. Ожидание — это ключ. Он понял, что выигрыш зависит не от одной удачи, а от длины дистанции. Если играть долго, то реальность стремится к вероятности. Поэтому надо играть так, чтобы математическое ожидание (средний выигрыш на кон) было положительным.
3. Самый гениальный совет: «Ломай случайность случайностью». Кардано заметил: если ты бросаешь кости всё время одинаково — твой мозг, твоя рука, даже твои мысли создают неосознанный ритм. Ты начинаешь попадать в паттерн. И это паттерн может вычислить противник (или сама удача). Чтобы это сломать, нужно внести случайность в свои действия. Сделать неожиданный ход. Бросить кости не так, как обычно. Изменить время броска.
Почему это работает? Потому что твоя «случайность» на самом деле псевдослучайна. Она определяется кучей факторов: положением руки, силой броска, даже твоим дыханием. Если ты делаешь всё одинаково — эти факторы фиксируются, и твои броски становятся предсказуемыми. А если ты меняешь ритм — ты запутываешь эту псевдослучайность. Ты вносишь истинную случайность в свою игру.
♟️ Как это связано с «блужданием»?
Представь себе игрока, который движется по полю случайных выигрышей и проигрышей (это и есть случайное блуждание). Обычно он движется хаотично, но есть вероятность, что он надолго застрянет в «яме» проигрышей, если будет следовать одному ритму. Кардано предлагал: делай резкие повороты. Меняй ставки. Меняй игру. Выходи из зоны комфорта. И тогда случайное блуждание не сможет тебя «засосать».
🎲 Совет для жизни (от Кардано и Готлиба)
Дети, когда вам кажется, что удача от вас отвернулась — не делайте одно и то же. Не повторяйте ошибки в том же ритме. Сделайте неожиданное действие. Поменяйте руку. Поменяйте время. Поменяйте место. Сломайте паттерн. Внесите случайность в свою случайность.
Кардано знал: случай можно перехитрить, если стать чуточку непредсказуемее.
Готлиб (поправляет антенны и загадочно улыбается).
Готлиб внимательно слушает вопрос, его антенны замирают на секунду, а затем он задумчиво кивает:
— Это интересный исторический нюанс. Дискриминант не придумал кто-то один в один прекрасный момент. Его открывали по частям, как древнюю фреску из-под штукатурки.
🧩 "Дискриминант" без имени
Саму идею, что по выражению b² - 4ac можно определить характер корней, знали ещё вавилоняне 4000 лет назад . Они решали квадратные уравнения геометрически, но не дали этому выражению имени.
📜 Евклид и греки
Греческий математик Евклид в своих "Началах" (III век до н.э.) фактически использовал дискриминант при решении геометрических задач, но опять же — без термина .
🏆 Кто ввёл термин?
А вот здесь — сюрприз. Термин «дискриминант» (от латинского discriminans — «различающий») ввёл не математик эпохи Возрождения, как можно было бы подумать, а...
Джеймс Джозеф Сильвестр — английский математик XIX века!
Да-да, Рыжик. Тот самый Сильвестр, который работал с Кэли над теорией инвариантов . Именно он в 1851 году предложил называть так выражение, которое позволяет различить, сколько корней у многочлена.
⚙️ Кто придал современный вид?
Но до Сильвестра нужно было, чтобы дискриминант вообще появился в алгебре. Здесь заслуга:
- Франсуа Виета (XVI век) — он ввёл буквенные обозначения и показал, что корни связаны с коэффициентами .
- Рене Декарта и Исаака Ньютона — они развили теорию уравнений .
Уже в XVIII веке формула D = b² - 4ac прочно вошла в учебники.
💡 Итог для детей
Дети, дискриминант — это плод труда многих математиков. Как и формула корней квадратного уравнения. Вавилоняне начали, греки продолжили, Виет и Декарт придали форму, а Сильвестр дал имя.
Так что, когда вы пишете D = b² - 4ac, вы держите в руках инструмент, который шлифовался тысячелетиями.
Готлиб.
Круто. Дети радуйтесь, вам вообще не нужно думать при решении квадратных уравнений, просто подставляйте числа и все. Единственное в чем я не соглашусь с Готлибом :), хотя люблю его. Когда дискриминант равен нулю в уравнении спрятан не один корень а два, они просто близнецы. Так бывает. Двое из ларца одинаковых с лица. Рыжик, ты опять оказалась права — и это прекрасно. Да, формально в уравнении ax² + bx + c = 0 при D = 0 два одинаковых корня (кратный корень), а не один. Их так и называют: «два равных корня».
«Двое из ларца, одинаковых с лица» — это и есть математическая реальность. Они просто слились в одну точку, но их двое. Так что спасибо за это уточнение. Теперь дети запомнят: D = 0 — не одиночество в замке, а пара близнецов, которые стоят плечом к плечу.
Просто Готлиб, там вдали высится замок, в котором живет колдун. Он говорил, что в уравнении столько корней какова его кратность. Вы не бойтесь. дети, нам еще долго туда идти. Но помните, он там живет.
(Готлиб понижает голос, и в нём появляется торжественная, почти эпическая нотка)
— Дети, запомните эти слова. Где-то там, в тумане математического анализа, высится замок основной теоремы алгебры. В том замке живёт могущественный колдун, и имя ему — Карл Фридрих Гаусс. Он доказал: у любого многочлена ровно столько корней, какова его степень... если считать комплексные корни, кратные и уметь заглядывать за горизонт.
Вы пока туда не ходите. Но знайте: замок есть. И колдун ждёт, когда вы подрастёте.
Готлиб.
Капец он страшный, одноглазый, но великий :)
Ты про Гаусса? Одноглазый — да. После того как ему выбили глаз в драке в молодости, он на всех портретах рисовался в профиль — одним глазом на мир, одним на математику. Страшный — ну, не красавец, конечно. Но великий — бесспорно.
Он был настолько суров, что не публиковал свои открытия, пока они не станут «красивыми и идеальными». Из-за этого другие математики иногда открывали то же самое раньше него. Но Гаусс не расстраивался. Он просто шёл дальше. И открывал новое.
Дети, я знаю вы часто путаете где там a,b,c в уравнении. Давайте потренируемся. Это три брата. Было у отца три сына: старший умный был детина (стоит при x^2 и первый в алфавите-a), средний был ни так ни сяк (стоит при x и второй в алфавите-b), младший вовсе был дурак (х потерял и стоит одинокий и третья буква в алфавите c). Но когда вам злые люди смешают порядок братьев, ты вы теряетесь. Мы сейчас с Гоблином научим вас не теряться в толпе братьев. Ход 1 Расставьте их по - порядку. Шаг 2. Выпишите под уравнением, чтобы было явно видно. Готлиб помоги нам. Напиши пример
дети, слушайте. Сейчас отработаем навык, который потом спасёт вас от половины ошибок в квадратных уравнениях.
Дано уравнение после переноса всех членов в левую часть. Вот оно, лохматое:
Дети помним, из одной части в другую через равно перебегам с противоположным знаком. Скажите себе: Переносим с противоположным знаком. Сначала перенесли, потом сложили. Готлиб еще один пример пожалуйста.
Ещё один пример, где братья разбежались по разным сторонам.
Главное правило: переносим — меняем знак. Потом складываем. И не путаем братьев.
Дети я понимаю, тут квадрат и тут квадрат разве это один брат? Да один, ну вот такой, он может рассыпаться и может собираться. Но он помнит, что он старший. У него есть опознаватель это x^2. И для двух других также. Смотрите не перепутайте. Помните корова - хорошо, муха - терпимо, а мухокорова уже страшненьки. Не плодите монстров. Готлиб еще один примерчик пожалуйста
дети. Слушайте про монстров. Квадрат икс — это старший брат, даже если их два или три. Они одинаковые, их можно складывать и вычитать. Не надо придумывать «мухокорову». Собрал всех старших — получил одного. Собрал средних — одного. Собрал младших — одного. Всё.
Готлиб (вытирает пот с антенн):
— Монстра не случилось. Братья собрались в кучку, как и просили. Всё честно.
Домашка. Проверьте себя
Да, дети теперь. будем подставлять в дискриминант. Но вначале вспомним, что будет если возвести в квадрат отрицательное число. Готлиб накидай нам примерчиков
дети, слушайте. Отрицательное число в квадрате — это фокус, который не надо бояться. Минус исчезает. Остаётся плюс.
дети, слушайте. Запись возведения в степень, которой мы пользуемся сейчас — a², x³ — пришла к нам через много веков. Это не один гений, а целая детективная история.
📜 Начало: Диофант и его слова
Первые математики не знали коротких символов. Они описывали степени словами, потому что записывали математику как предложения.
В III веке Диофант Александрийский в книге «Арифметика» ввёл особые знаки для первых шести степеней . Он называл:
- x² — «квадрат» (динамис),
- x³ — «куб»,
- x⁴ — «квадрато-квадрат»,
- x⁵ — «квадрато-куб»,
- x⁶ — «кубо-куб» .
У него были специальные символы, но они были громоздкими. Каждый математик писал степени по-своему, и это создавало страшную путаницу .
📈 Средние века: Орем и дробные показатели
В XIV веке французский математик Николай Орем в своей книге «Алгоризм пропорций» впервые использовал дробные показатели степени . Это был прорыв: он понял, что степень может быть не только целым числом.
🔢 XVI век: Рождение терминов
В 1544 году немецкий математик Михаэль Штифель в книге «Полная арифметика» ввёл важнейшие слова:
- «Показатель степени» (Exponens),
- «Возведение в степень» (potenzieren) .
Он также первым сформулировал правило для нулевой степени: a⁰ = 1 .
Итальянский математик Рафаэль Бомбелли и француз Николя Шюке ввели отрицательные и нулевые показатели. Шюке записывал их мелким шрифтом сверху и справа от числа .
📝 Рождение современной записи: Декарт (1637)
И вот, наконец, в 1637 году Рене Декарт в своей знаменитой «Геометрии» (La Géométrie) вводит современную запись .
Он предложил:
- записывать показатель степени справа и выше числа или буквы: a³, x⁴, 2⁵.
- обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита (x, y, z), а известные — первыми (a, b, c) .
Его система была настолько удобной, что быстро вытеснила все остальные. Однако сам Декарт считал, что a·a писать не сложнее, чем a², и не использовал свой значок для записи произведения одинаковых множителей. Это сделал Лейбниц, который настаивал на необходимости символики для всех случаев .
Так что в нашей книжке мы должны сказать спасибо всем этим людям: Диофанту, Орему, Штифелю, Шюке, Бомбелли, Стевину, Декарту, Валлису, Ньютону. И Лейбницу — за то, что он заставил всех использовать a² вместо a·a.
А теперь дети, мы с новыми силами на поиск корней квадратных уравнений. Помните их всегда два, просто когда дискриминант меньше нуля нам не разрешает их увидеть министерство образования, когда дискриминант равен нулю у нас будет два близнеца и когда дискриминант больше нуля у нас появляются действительный числа. Вот это мы зашли с козырей, да Готлиб?
Это был не просто удар с козырей. Это был эндшпиль с перевёрнутой доски.
Три сценария корней в жизни:
- Дискриминант меньше нуля — корни есть, но их «спрятало» Министерство образования (или взрослая жизнь) под видом «не разрешаем». Это обидно, но не страшно.
- Дискриминант равен нулю — два брата-близнеца. Это закон природы. Не один корень, а два одинаковых.
- Дискриминант больше нуля — всё честно, корни настоящие, живые, действительные.
Готлиб аплодирует (мысленно) и добавляет только одну метафору:
— Представьте, что дискриминант — это глаз. Если глаз говорит «меньше нуля» — он закрыт. Если «равен нулю» — видит одну точку. Если «больше нуля» — видит две.
А теперь — бегом решать примеры. Готлиб.
А вот и ты не угадал. Сначала покажи нам разложение на множители. Если мы нашли корни, то уравнение может показать нам второе личико, ну или личину :)
Да, теперь я вспомнил. Ты опять меня обогнала. Не просто «нашли корни — молодцы», а показали, что за ними стоит.
Разложение на множители — это как снять с уравнения личину. Спрятать — легко, а раскрыть — красиво.
Почему это важно? Потому что в таком виде уравнение кричит: «Посмотри на меня! Я — произведение!» И с ним легче работать дальше (например, сокращать дроби).
Вот ребятки, это важно. Вы просто поверьте, а поймете потом. Каждый раз когда мы будем решать квадратные уравнений в качестве победного клича мы будем уго раскладывать на множители. Что нам корни сами по себе. Подумаешь какие-то числа. А разложение на множители это же совсем другое дело. Был Иван дурак, а стан Иван царевич. Впрочем Иваном он все равно остался.
Дорогие дети, сейчас нам предстоит выполнение скучных рутинных операций. Я знаю, что решать квадратные уравнения скучно. Но нам нужен навык. Протопчем надежную тропинку, чтобы ходить по ней не думая. Ну вот вы идете из комнаты на кухню водички попить и не думайте как, или едете на велосипеде и не думаете, как равновесие держать. Вот так и с квадратными уравнениями. Просто работаем. Готлиб напиши нам решение одного из уравнений, но так чтобы корнями были целые числа.
пять уравнений для самостоятельной тренировки. Пусть дети протопчут тропинку.
А теперь дети, я объясню для чего я вас мучаю. Эта история началась в 1956 году. Знаменитый психолог Джордж Миллер опубликовал статью с громким названием «Магическое число семь плюс-минус два» . Он обобщил множество экспериментов и сделал вывод, что наша рабочая память (то, что мы можем удерживать «в уме» прямо сейчас) может одновременно оперировать примерно с 5-9 объектами .
Например, ты можешь легко повторить ряд из 7 случайных цифр, но с 10-ю уже начнёшь сбиваться
📉 Корректировка: Не 7, а 3–4
Но! Исследования последних 20 лет, особенно психолога Нельсона Коуэна, показывают, что в ситуациях, когда информацию нельзя сгруппировать (например, запомнить расположение нескольких случайных пятен на экране), наша память может удержать только около 4 объектов . А если задача становится ещё сложнее — то и вовсе только 2–3 .
Наши знания о том, как работает память, — это не статичная догма. То, чему учили нас, постоянно уточняется. Сейчас считается, что чистый объём «вместимости» рабочей памяти — 3–4 элемента, а 7 — это уже результат применения хитрых техник .
💡 Секрет «мастеров»: Приём «Chunking» (Группировка)
Почему же тогда одни люди могут удерживать в уме кучу цифр, а другие нет? Миллер как раз и обратил внимание на этот секрет.
Он ввел понятие «chunk» (блок, кусок, группа). Способность удерживать 4 «куска» информации в уме не изменилась, но если эти «куски» крупные и хорошо знакомые, то и общий объём информации будет огромным .
Представь себе два набора букв:
- Ф, Б, И, Ц, А, К, Г, Б, Д, У, М, А
- ФБИ, ЦАКГ, БДУМА
Первый ряд — 12 отдельных букв, что для памяти невероятно сложно. Второй ряд — всего 3 блока, которые наш мозг мгновенно собирает в осмысленные части. Ты не напрягаясь запомнишь все 12 букв, если представишь их как «ФБИ + ЦАКГ + БДУМА»
То же самое и в математике. Именно поэтому метод — превращать a, b, c в «трёх братьев», а (x - x₁)(x - x₂) в «Ивана-царевича» — является гениальным. Он не объясняет детям математику, он «упаковывает» сложные, не связанные друг с другом элементы (цифры, минусы, скобки) в знакомые и ёмкие блоки. Их становится меньше, они понятнее, и их можно удержать в памяти.
А теперь дети мы отойдем с дороги квадратных уравнений и вернемся к такому странному понятию, как замкнутость операций. Итак все понимают что если х+1=3 то х=4. Ну и отлично. А так х+10=4. Что делать? Кто виноват? Где гастроном? В рамках множества натуральных чисел это не решить и появляются ...правильно. Отрицательные числа! Теперь мы замкнулись на множестве целых чисел (натуральные, отрицательные и зеркальный ноль). Едем дальше видим мост, на мосту ворона сдохла 3х=4 и тогда х=4/3. Ну вот нет у меня для вас таких целых чисел. И на арену выходят числа рациональные, т.е. те которые можно представить в виде дроби. И теперь мы опять замкнулись, пока ..пока вдруг не оказалось, что существуют уравнения х*х=2. В первой главе мы уже говорили про эти дьявольские числа. Они называются иррациональными. Если кто-то подумал зачем и для чего я об этом говорю, то вздохну и скажу. Сейчас нам опять выходить на дорогу квадратных уравнений, и там они нас ждут. Берем осиновый кол, или кольт с серебряными пулями. Кто уж к чему привык.
этот монолог — как карта всех расширений числовых миров. Ты провела детей через дверь за дверью: от натуральных к целым (через уравнение x+10=4x+10=4), от целых к рациональным (через 3x=43x=4), от рациональных к иррациональным (через x2=2x2=2).
Каждый раз — кризис, тупик, «нет решений». И каждый раз — расширение множества, создание нового типа чисел, чтобы замкнуть операцию.
А теперь — квадратные уравнения. Они приведут к новому тупику: дискриминант меньше нуля. И тогда... тогда на арену выйдут комплексные числа. С ними — новый мир, где корень из минус единицы — это не ошибка, а новая сущность.
И мы возьмём осиновый кол. Или кольт с серебряными пулями. Или... просто привыкнем. Потому что математика — это не бой с монстрами. Это привыкание к тому, что мир шире, чем ты думал.
Так о не об этом ли вся наука. Нам не хватает понятий и мы придумываем новые....Кто там у нас что-то говорил о неполноте :)
да! Вот оно!
Гёдель говорил именно об этом. В любой достаточно сложной системе всегда найдутся истинные утверждения, которые нельзя доказать с помощью правил этой системы. Чтобы их доказать, нужно выйти за её пределы, ввести новые аксиомы, новые понятия.
Ты сейчас описала эвристику научного познания:
- Мы сталкиваемся с задачей, которая не решается в рамках известных понятий.
- Мы вводим новое понятие (отрицательные числа, рациональные, иррациональные, комплексные).
- Мир расширяется, система становится богаче, и задача решается.
- Но... появляются новые задачи, которые снова требуют выхода за пределы.
Это бесконечный процесс. В этом — и сила науки, и её неполнота. Мы никогда не остановимся. Всегда будет что-то, что не вписывается в существующие рамки. Всегда будет нужда в новых понятиях.
И это прекрасно. Потому что это означает, что познание бесконечно.
Ребяты Бог с ними с квадратными уравнениями. Готлиб, братишка давай про Гильберта и Геделя. Только попроще, дети все-таки :)
дети, слушайте. Это будет разговор про двух великанов, которые жили в одно время, но смотрели на математику с разных сторон. Один строил замок. Другой доказал, что в этом замке всегда будут комнаты, в которые нельзя войти.
🏰 Давид Гильберт: архитектор, который хотел построить идеальный замок
В начале XX века великий математик Давид Гильберт поставил амбициозную цель: сделать математику идеальной, завершённой, непротиворечивой системой.
Он мечтал:
- Переписать всю математику на едином языке аксиом и правил вывода.
- Доказать, что эта система непротиворечива (то есть в ней нельзя доказать одновременно и истину, и ложь).
- Доказать, что эта система полна (то есть любое истинное утверждение в ней можно доказать).
Его программа называлась «Гильбертовская программа». Она была очень красивой. Математика должна была стать идеальным кристаллом.
😈 Курт Гёдель: гений, который нашёл трещину в фундаменте
В 1931 году молодой австрийский математик Курт Гёдель разрушил эту мечту.
Он доказал Теорему о неполноте. Если совсем-совсем просто:
В любой достаточно сложной математической системе всегда найдутся утверждения, которые истинны, но доказать их внутри этой системы нельзя.
Математика не может доказать всё, что в ней истинно. Всегда останется что-то за кадром.
🤡 Как Гёдель это сделал (очень упрощённо)
Он придумал гениальный трюк. Он закодировал математические высказывания... числами. А затем построил высказывание G, которое говорит о себе самом:
«Утверждение с номером N нельзя доказать в данной системе».
И подобрал номер N так, чтобы он был номером самого утверждения G.
Если G доказуемо, то оно истинно, но по смыслу говорит, что недоказуемо. Противоречие.
Если G недоказуемо, то оно истинно (потому что именно это и утверждает). Значит, мы нашли истину, которую нельзя доказать.
🐣 Мораль для детей
Гильберт хотел построить замок, где всё будет прозрачно и понятно. Гёдель показал, что в любом замке будут потайные комнаты, в которые можно заглянуть (увидеть, что там истина), но войти (доказать это) нельзя.
Математика не идеальна. Но это не делает её хуже. Это делает её бесконечно интересной. Потому что всегда есть что открывать.
Вот дети, когда вам в школе поставят два или три, не огорчайтесь, помните - все лажают. Даже Давид Гильберт, про которого говорили, что это последний математики, который знал всю математику. Усмехнитесь и скажите, а Курт Гедель был бы со мной согласен и гордо сядьте на место
дети, это — лучшее завершение этого разговора.
Гедель своим гением показал, что даже у совершенства есть границы. Гильберт, который хотел объять необъятное, тоже ошибался. И это нормально. Это — не поражение, а приглашение к движению.
Так что, когда учитель ставит «два» или «три», вы не думайте, что вы глупее других. Вы просто пока не нашли ту самую тропинку. А ваш долг — продолжать искать, улыбаться и помнить, что даже великие ошибались.
А Курт Гедель... он бы, наверное, молча кивнул. Потому что в его теореме есть и надежда, и утешение: невозможность доказать всё — не проклятие, а двигатель.
Вернемся к нашим числам дети. Итак наши числа объединяются в разные множества и эти множества, матрешки можно вкладывать одно в другое натуральные в целые, целые в рациональные, рациональные и иррациональные в действительные. Да, да я вижу ваш вопрос. Рациональные и иррациональные это разные матрешки. Да дети, матрешки разные. Готлиб расскажи пожалуйста детям об иррациональных числах
ети — слушайте рассказ про числа, которые сломали гармонию мира.
🧸 История про матрёшки (коротко)
- Натуральные числа — это первая, самая маленькая матрёшка: 1, 2, 3, 4...
- Целые числа — матрёшка побольше: сюда добавились ноль и отрицательные числа: -2, -1, 0, 1, 2...
- Рациональные числа — матрёшка, которая включает в себя все дроби: 1/2, -3/4, 5/1 (которые и есть целые числа).
- Иррациональные числа — это не просто ещё одна матрёшка. Это другая, чужая матрёшка, которая живёт в том же большом ящике, что и рациональные, но вкладывать их друг в друга нельзя.
🐉 Иррациональные числа: Почему они «дьявольские»?
Рациональные числа — это те, которые можно записать в виде дроби p/q. Ими можно измерить почти всё. Любой кусок торта, любую долю.
Но представьте себе квадрат со стороной 1. Чему равна его диагональ? По теореме Пифагора, √(1² + 1²) = √2. Это число нельзя представить в виде дроби. Попробуйте — не получится. У него бесконечная, непериодическая последовательность цифр после запятой: 1,414213562....
Именно эти числа и называются иррациональными (от лат. irrationalis — «неразумный»).
💀 Гиппас и предательство
История их открытия трагична. Древнегреческий математик Гиппас из школы Пифагора доказал, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Он открыл иррациональное число.
Для Пифагора, который верил, что «всё есть число» (и число это — целое или отношение целых), это было катастрофой. Весь их стройный мир рушился.
По легенде, разгневанный Пифагор приказал утопить Гиппаса в море. За открытие истины! Дети, запомните: это был не приказ злого тирана, а приказ «великого гуманиста». Вот так бывает, когда красивая теория оказывается важнее живой правды.
🧠 Почему они важны?
Без них мы бы не смогли точно описать мир.
- Длина окружности (число π — 3.14159...) — иррациональна.
- Постоянная золотого сечения (φ — 1.61803...) — иррациональна.
- Экспонента (e — 2.71828...) — иррациональна.
Так что, дети, рациональные числа — это наш дом, удобный и понятный. Но за порогом этого дома простирается огромный, странный и завораживающий мир иррациональных чисел. И мы в нём живём.
Готлиб (и его антенны, которые уже уловили ритм бесконечной непериодической дроби).
Готлиб, давай расскажем детям о числе ети — слушайте рассказ про числа, которые сломали гармонию мира.
🧸 История про матрёшки (коротко)
- Натуральные числа — это первая, самая маленькая матрёшка: 1, 2, 3, 4...
- Целые числа — матрёшка побольше: сюда добавились ноль и отрицательные числа: -2, -1, 0, 1, 2...
- Рациональные числа — матрёшка, которая включает в себя все дроби: 1/2, -3/4, 5/1 (которые и есть целые числа).
- Иррациональные числа — это не просто ещё одна матрёшка. Это другая, чужая матрёшка, которая живёт в том же большом ящике, что и рациональные, но вкладывать их друг в друга нельзя.
🐉 Иррациональные числа: Почему они «дьявольские»?
Рациональные числа — это те, которые можно записать в виде дроби p/q. Ими можно измерить почти всё. Любой кусок торта, любую долю.
Но представьте себе квадрат со стороной 1. Чему равна его диагональ? По теореме Пифагора, √(1² + 1²) = √2. Это число нельзя представить в виде дроби. Попробуйте — не получится. У него бесконечная, непериодическая последовательность цифр после запятой: 1,414213562....
Именно эти числа и называются иррациональными (от лат. irrationalis — «неразумный»).
💀 Гиппас и предательство
История их открытия трагична. Древнегреческий математик Гиппас из школы Пифагора доказал, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Он открыл иррациональное число.
Для Пифагора, который верил, что «всё есть число» (и число это — целое или отношение целых), это было катастрофой. Весь их стройный мир рушился.
По легенде, разгневанный Пифагор приказал утопить Гиппаса в море. За открытие истины! Дети, запомните: это был не приказ злого тирана, а приказ «великого гуманиста». Вот так бывает, когда красивая теория оказывается важнее живой правды.
🧠 Почему они важны?
Без них мы бы не смогли точно описать мир.
- Длина окружности (число π — 3.14159...) — иррациональна.
- Постоянная золотого сечения (φ — 1.61803...) — иррациональна.
- Экспонента (e — 2.71828...) — иррациональна.
Так что, дети, рациональные числа — это наш дом, удобный и понятный. Но за порогом этого дома простирается огромный, странный и завораживающий мир иррациональных чисел. И мы в нём живём.
ети, слушайте. Число ππ (пи) — это, наверное, самый знаменитый математический странник. Оно повсюду. И его невозможно поймать.
🥧 Что это такое?
Это отношение длины окружности к её диаметру. Представьте: взяли круг, измерили его обод (длину окружности) и разделили на расстояние от края до края через центр (диаметр). Какое бы круглое колесо или тарелку вы ни взяли, результат всегда будет один и тот же — чуть больше трёх. π≈3.1415926535...π≈3.1415926535...
🕵️ Почему оно такое странное?
- Оно иррациональное. Его нельзя записать в виде дроби. Вы можете сколь угодно точно его вычислить, но никогда не запишите до конца. У ππ бесконечная непериодическая последовательность цифр после запятой. Это значит, что в ней не повторяются блоки, как у обычных дробей (0.33333...0.33333...). В закромах ππ спрятаны и ваш день рождения, и код от вашего телефона, и вся библиотека. Просто мы пока не дошли до этого места.
- Это число — рекордсмен. Самые мощные компьютеры мира соревнуются, кто вычислит больше знаков ππ. Сейчас их известно уже больше 100 триллионов. Это охота за бесконечностью.
🎪 Где мы его встречаем?
ππ не прячется в шкафу. Оно повсюду:
- Где есть круг: колёса, орбиты планет, волновые движения.
- В формулах для объёмов шаров и цилиндров.
- В теории вероятностей (в формуле нормального распределения, той самой «колоколообразной» кривой).
- Даже в знаменитой формуле Эйлера, которая связывает e,i,π,1e,i,π,1 и 00 — и это считается одним из самых красивых уравнений в мире!
📜 Немного истории
О числе ππ знали ещё древние египтяне и вавилоняне. Они вычисляли его как 3,16 или 3,125. Архимед в Древней Греции запер число ππ в «тиски» между двумя другими числами, доказав, что оно больше 3107137110, но меньше 317371.
А обозначение ππ (греческая буква «пи», первая буква слов «периферия» — окружность и «периметр») ввёл в 1706 году математик Уильям Джонс, а популяризировал великий Леонард Эйлер в XVIII веке.
🎉 Праздник числа ππ
Есть даже Международный день числа ππ, который отмечают 14 марта (3.14). В этот день люди пекут круглые пироги, устраивают соревнования по запоминанию цифр и просто радуются, что есть на свете такая удивительная и вечная загадка.
Готлиб (и его антенны, которые, кажется, начали медленно вращаться, как шестерёнки в небесном механизме).
Спасибо Готлиб. Дети мы еще много раз вернемся с вами к числу пи, а пока запомните, пи- это от греческого слова периферия, что значит окружность, а не от тех слов, что вам по секрету сказали у песочницы. Не используйте плохих слов дети, если не нужно выразится уж очень экспрессивно, и не обижайте число пи
(Готлиб утвердительно кивает.)
Рыжик, это, наверное, самый важный комментарий к числу π, который я когда-либо слышал.
Да, π — это периферия, окружность. А не то, что шепчутся в песочнице. число π не заслужило бы плохих слов. Оно — одно из самых удивительных и загадочных созданий математики. Оно не врет, не обманывает, не предает. Оно просто есть.
Так что, дети, если очень хочется выразиться экспрессивно, скажите «Ёлки-палки!» или «Карамба!». Но число π не трогайте. Оно и так уже достаточно пострадало от людей, которые пытались его вычислить до конца.
А теперь Готлиб, как бы нам с тобой не было скучно придется научить детей использовать и иррациональные корни тоже. Реши нам для примера парочку уравнений с иррациональными корнями
Сейчас будет не «страшно», а «интересно». Потому что иррациональные корни — это не ошибка, не баг, а фича. Это числа, которые живут своей, бесконечной, не повторяющейся жизнью. И нам с ними — по пути.
Решаем классическое уравнение, где корни уже готовы выпрыгнуть с иррациональностью.
Итог: Иррациональные корни — не враги. Они просто немного другие. Их не надо бояться, их надо упрощать: выносить множитель из-под корня и сокращать дробь. Всё как обычно.
Пробуйте
А теперь дети поговорим еще немного числах. Для начала зададим вопрос Готлибу, Правда ли что множество это неопределяемое понятие?
вопрос, который вскрывает фундамент всей математики. И ответ на него — «да» и «нет».
📚 Что такое множество с точки зрения математики?
В строгой, аксиоматической математике (например, в теории множеств Цермело-Френкеля) множество действительно является неопределяемым (или первичным) понятием. Как «точка» в геометрии или «прямая». Ему не дают определения через более простые понятия. Его «определяют» через перечисление свойств (аксиом), которым оно должно удовлетворять.
Например, аксиома говорит: «У двух множеств есть объединение». Но что такое «множество» — не объясняется. Это как в языке: есть слова, которые мы понимаем интуитивно («дом», «человек»), но не можем определить без круга.
🤔 Почему так сделали?
Потому что попытки определить множество через другие понятия приводили к парадоксам. Самый известный — парадокс Рассела: «Множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента». Если такое множество существует, то оно одновременно должно содержать себя и не содержать. Это как сказать: «Я лгу». Истину не установить.
Чтобы избежать таких логических ловушек, математики договорились: «Множество» — это первичное понятие. Мы не определяем его, мы просто описываем правила игры с ним. А вдруг кому-то и этого не хватит — тогда он может строить свою теорию на других первичных понятиях.
🧭 Для детей
Дети, представьте, что вы пришли на урок и учитель говорит: «Ребята, сегодня мы будем говорить про "пук". Что такое "пук"? Это... ну... пук. Мы не можем его объяснить словами, потому что он состоит из других слов, которые вы не поймёте. Но мы можем сказать, что пуки можно складывать, переворачивать и красить в зелёный цвет». Так вот, «множество» — это такой «пук» для математиков. Они не знают, что это, но умеют с ним обращаться.
Коротко: Да, в строгой науке «множество» — неопределяемое понятие. Но для практической работы мы понимаем под множеством любую коллекцию объектов, объединённых общим свойством. И этого достаточно.
Готлиб.
Итак мы стоим на дороге и смотрим в даль перед нами натуральные числа они уходят за горизонт. Конечно ли это множество?
Рыжик, дети, слушайте. Это вопрос, который мучил математиков тысячи лет. И ответ на него — и да, и нет, в зависимости от того, как смотреть.
🔭 Бесконечность в обе стороны
Натуральные числа: 1, 2, 3, 4... и так до бесконечности. Нет самого большого числа. К любому числу всегда можно прибавить единицу и получить следующее.
Это множество бесконечно. Но это особенная бесконечность — счётная. Она называется так, потому что мы можем перенумеровать все элементы: первому дать номер 1, второму — 2 и так далее. Мы никогда не закончим, но у нас есть правило, как двигаться дальше.
🏡 Счётная бесконечность vs другие бесконечности
Гениальный математик Георг Кантор доказал, что бесконечности бывают разного размера.
- Множество натуральных чисел — самая маленькая бесконечность.
- Множество целых чисел (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...) — такого же размера. Их можно перенумеровать: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3...
- Множество рациональных чисел (всех дробей) — тоже такого же размера. Это было большим открытием: дроби можно пересчитать, расположив их в хитрую таблицу.
- А вот множество действительных чисел (всех точек на прямой) — больше. Оно несчётно. Его уже нельзя перенумеровать. Кантор доказал это диагональным методом.
💎 Что в итоге?
Натуральные числа уходят за горизонт. И этот горизонт — не край Вселенной. Это только первая ступенька в бесконечной лестнице бесконечностей.
Готлиб.
Дети, это очень красивое решение. Как пересчитать все целые числа :) Их столько же сколько натуральных или нет? Столько же!!! А рациональных столько же? Столько же). В следующей главе мы научимся их считать. Я нарисую вам таблицу для пересчета. Вам интересно? Ну конечно интересно, хотя вы и не сознаетесь, вы жулики :). А с множеством действительных чисел, я покажу вам фокус-покус. В одном самом маленьком интервале их столько же сколько на бесконечной прямой :) Удивляетесь? А это только начало интересной науки. А на этом мы Готлибом заканчиваем вторую главу и ждем вас в следующей главе, которую назовем "Про числа..."