Возьмите калькулятор и разделите 34 на 21. Потом 55 на 34. Потом 89 на 55. Каждый раз будет выходить примерно одно и то же, около 1,618. Для любой пары соседних чисел из этого ряда результат тот же.
Именно в этой пропорции уложены семена в головке подсолнуха, чешуйки на ананасе и лепестки у большинства цветов. Совпадение?
Ряд называется последовательностью Фибоначчи. И у него есть своя история, которая началась с кроликов.
Купеческий сын и его головоломка
В 1202 году в Италии появилась книга "Книга абака". Написал её математик из Пизы по имени Леонардо. Прозвище Фибоначчи ему дали только через несколько столетий после смерти, а при жизни он был просто Леонардо Пизанский.
Его отец торговал по всему Средиземноморью и брал сына с собой. В поездках мальчик учился у арабских математиков и через них узнал индийскую и арабскую науку о числах. Вернувшись домой, он написал книгу, где объяснял европейцам десятичную систему счисления.
Среди сотен задач в книге была одна, на вид, совсем простая.
Есть пара кроликов. Каждый месяц взрослая пара рожает ещё одну пару. Новорождённые начинают размножаться через месяц. Сколько пар будет через год?
Леонардо записал ответ цепочкой чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Первый месяц, одна пара. Второй, всё ещё одна, кролики не подросли. Третий, уже 2 пары. Четвёртый, 3. К концу года, 144 пары.
Правило элементарное. Каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. 1+1=2. 1+2=3. 2+3=5. 3+5=8. Продолжать можно бесконечно.
Фибоначчи ничего не открывал
Сам Леонардо эту последовательность не придумал. В Индии её знали за сотни лет до него. Древнеиндийский учёный Пингала разбирал с помощью тех же чисел стихотворные ритмы в санскритской поэзии.
Позже, около 1150 года, индийский математик Хемачандра описал ту же закономерность. Ещё раньше, до 1135 года, о ней писал математик Гопала. Фибоначчи привёз эти знания в Европу вместе с арабскими цифрами.
Термин "числа Фибоначчи" появился только в XIX веке, когда французский математик Люка начал изучать свойства этого ряда и обнаружил, что они куда глубже, чем казалось.
Почему эти числа выделили в отдельную группу
Числовых последовательностей в математике тысячи. Но ряд Фибоначчи стоит в стороне от всех остальных.
Возьмите любое число из ряда и разделите на предыдущее. Чем дальше от начала, тем точнее результат стремится к 1,618. Это число обозначают греческой буквой φ (фи) и называют золотым сечением. Пропорция, которую люди воспринимают как гармоничную и красивую.
8 делим на 5, получается 1,6. Уже близко. 13 на 8, выходит 1,625. 21 на 13, уже 1,615. 34 на 21, ровно 1,619. Чем дальше по ряду, тем точнее результат попадает в 1,618.
Ни одна другая простая числовая цепочка не даёт такой прямой связи с золотым сечением.
Каждое 3-е число в ряду, чётное. Каждое 4-е, делится на 3. Каждое 5-е, делится на 5. Каждое 6-е, на 8. Это не случайность, а строгая математическая закономерность, которую доказал ещё Люка.
Последние цифры чисел Фибоначчи повторяются через каждые 60 чисел. То есть 61-е число в ряду заканчивается на ту же цифру, что и 1-е, 62-е на ту же, что и 2-е, и так далее. Этот цикл назвали периодом Пизано, в честь всё того же Леонардо из Пизы.
Сад и фортепиано
У лилии и ириса по 3 лепестка. У лютика 5. У космеи 8. У георгина 21. У нивяника, той самой полевой "ромашки", 34. У астры 55 или 89. Всё это числа из ряда Фибоначчи. Цветы с 4, 6 или 7 лепестками встречаются, но заметно реже.
Семена подсолнуха уложены двумя наборами спиралей. Одни закручены по часовой стрелке, другие против. И количество спиралей в каждом наборе, числа Фибоначчи, обычно 34 и 55 или 55 и 89.
Та же картина у ананаса. Чешуйки идут рядами, 8 под одним углом, 13 под другим и 21 почти вертикально. Три соседних числа из ряда. Сосновая шишка, если посмотреть снизу, тоже закручена двойной спиралью, и витки в каждую сторону чаще всего считаются как 8 и 13.
Почему так происходит? Листья и почки на стебле растут по спирали, и угол между соседними листьями составляет примерно 137,5 градуса. Этот угол связан с золотым сечением, и именно он позволяет каждому листу получить максимум солнечного света и дождевой воды. Естественный отбор веками закреплял именно такое расположение листьев.
Если считать клавиши фортепиано от одной ноты "до" до следующей включительно, получится 13 клавиш. Из них 8 белых и 5 чёрных. 5, 8, 13, три числа Фибоначчи подряд.
Раковина, которую все приводят в пример
Если выстроить квадраты со сторонами 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 один к другому и вписать в них дуги, получится спираль. Её называют спиралью Фибоначчи, и она близка к так называемой золотой спирали.
Раковину моллюска наутилуса веками приводили как идеальный пример золотой спирали в природе. В книгах, фильмах и учебниках утверждали, что каждая новая камера раковины больше предыдущей ровно в 1,618 раза. Но потом выяснилось, что это миф.
Замеры 80 раковин наутилуса из коллекции Смитсоновского музея показали, что реальная пропорция роста составляет около 1,31. Это далеко от золотого сечения.
Наутилус действительно растёт по логарифмической спирали, но это другая спираль, не золотая. Одни и те же красивые картинки кочевали из статьи в статью, и никто не проверял цифры.
Зато в мире растений числа Фибоначчи подтверждены строго. Спирали на подсолнухах и шишках, количество лепестков, расположение листьев на стебле, всё это можно проверить самому, без лаборатории и приборов. Достаточно сорвать шишку и посчитать.
Пчёлы и их родословная
У медоносных пчёл самка (рабочая пчела) рождается от двух родителей, матери и отца. А самец (трутень), только от матери, без отца. Трутень появляется из неоплодотворённого яйца. Это реальная биология, а не допущение.
Теперь считаем предков трутня. У него 1 родитель, мать. У матери 2 родителя. У тех двоих 3 предка. У троих 5. У пятерых 8. Количество предков в каждом поколении, 1, 2, 3, 5, 8, 13. Родословная пчелы выстраивается в точности по ряду Фибоначчи.
Число, из которого можно собрать что угодно
Любое целое число можно записать как сумму чисел Фибоначчи, причём так, чтобы среди них не было двух соседних. Например, 19 = 13 + 5 + 1. А 50 = 34 + 13 + 3. Эту теорему доказал бельгийский математик Цекендорф в 1972 году, и для каждого числа такое разложение единственно.
Это не просто математическая забава. На основе этого свойства была создана целая система счисления, фибоначчиева, в которой вместо степеней двойки (как в двоичной системе) используются числа Фибоначчи. Она применяется в теории кодирования, потому что коды на её основе лучше обнаруживают ошибки при передаче данных.
Не закон, а тенденция
Числа Фибоначчи не управляют природой, и это важно понимать. Цветы с 4 или 6 лепестками существуют. Шишки, у которых спирали не вписываются в ряд, тоже. Раковина наутилуса, как мы уже выяснили, вообще не подчиняется золотому сечению.
Но закономерность проявляется настолько часто, что за 200 лет изучения ей нашли разумное объяснение. Спиральный рост с углом, связанным с золотым сечением, это самый экономичный способ заполнить пространство. Растение с таким расположением листьев получает больше света.
Семена в подсолнухе при таком угле укладываются максимально плотно. Эволюция работает как оптимизатор, и раз за разом приходит к одним и тем же числам, потому что они описывают самый эффективный способ расти.
Задачка про кроликов, конечно, далека от реальности, настоящие кролики так не размножаются. Но ряд чисел, который из неё вырос, пережил своего автора на 8 веков. Пингала нашёл его в санскритских стихах. Цекендорф доказал, что из него можно собрать любое число.