Введение
Цель данной статьи показать массовому читателю красоту фундаментальных законов мира в планиметрии -- геомерии в двухмерном пространстве. Вы наверняка слышали о том, что будет раскрываться в данной статье, но до конца не понимали сути темы. Эту работу можно отнести к научно-популярной, т.к. она не трубует глубоких знаний в математике. Все темы, которые будут тут освещаться, не выходят за рамки школьной программы 8 класса.
Оглавление
- Что такое градус ?
- Можно ли поделить градус ?
- Что такое число Пи ?
- Найдём число Пи
- Золотое сечение
- Построим золотую спираль
- Теорема Пифагора
- Пифагоровы тройки
- Решение задач по теореме Пифагора
1) Что такое градус ?
Градус - это единица измерения углов (и дуг, но не всегда). В геометрии правильно говорить "угловой градус". Он обозначает 1/360 часть полной окружности (чер. 1), следовательно, чтобы найти градус, нужно провести на окружности 360 равноудалённых друг от дурга радиусов, которые разделят окружность на 360 равных секторов. Каждый такой сектор назвали угловым градусом (чер. 2).
Сектор - это часть окружности, ограниченная двумя радиусами.
Но почему окружность разделили именно на 360 частей? Дело в том, что 360 можно делить на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 и т. д. без остатка.
2) Можно ли поделить градус ?
Градус слишком большая, и вследствие этого не точная единица измерения в технике. Например, вместо сантиметра в инженерии используют миллиметр, его десятую и сотую часть (0,1 мм, 0,01 мм). И так же с градусом -- вместо него используют его 1/60 и 1/3600 часть! Это угловая минута и секунда соответственно. 1 градус = 60 угловых минут ('), 1 угловая минута = 60 угловых секунд (''). Например, 45 градусов 30' 15'' -- это 45 градусов, 30 минут и 15 секунд.
Угловые секунды и минуты применяются в астрономии, геодезии и картографии, морской и авиационной навигации, оптике и микроскопии, артиллерии.
3) Что такое число Пи?
Число Пи -- это математическа константа (постоянная), которая равна отношению длины окружности к её диаметру. (Пи = C / d).
Пи = 3,14159265358.... и так до бесконечности
Число Пи бесконечно, для большинства расчётов используют его округлённое значение, равное 3,14. Его можно записать в виде дроби, но значение будет не совсем точным: 22/7 = 3,142857... . С помощью числа Пи можно вычислить длину окружности (С = 2 * Пи * r / С = Пи * d) и площадь круга (S = Пи * r^2).
Проще говоря, для любой неизкривлённой окружности работает правило: длина окружности делить на её диаметр равно всегда 3,14. Однако, из-за неизбежных погрешностей в измерениях, значение отношения получится близким к 3,14, но не равным ей, в чём мы сейчас убедимся.
4) Найдём число Пи
Пи = С / d, где С - длина окружности, d - диаметр окружности. Если как найти диаметр окружности понятно, то как найти длину окружности? Для этого нужно превратить её в прямую линию. Возьмём обычную резинку d = 58 и r = 29 (чер.4). Мы разрежим её и выпрямим, чтобы узнать длину окружности С (чер.5).
Пи = 195 / 58 = 3,36 (Погрешность + 0,22).
Мы вычислили Пи, но с небольшой погрешностью, потому что резинка при измерении диаметра была не идеальной окружностью, а немного искривленной из-за особенности материала.
Резинка дала грубое приближение, но идея ясна: отношение длины окружности к диаметру постоянно.
5) Золотое сечение
Золотое сечение - это пропорция 1 : 1,618, которую можно выразить следующими формулами:
а также в процентном соотношении: 62% к 38%. Обозначается золотое сечение буквой Фи. Эта пропорция создаёт визуальную гармонию и радует не только глаз, но и разум. Удивительно, но вся Вселенная подчиняется этому правилу во всех трёх мирах. Например, золотое сечение в микромире - молекула ДНК (чер.6), в макромире - улитка (чер. 7), в мегамире - спиральная галактика.
6) Построим золотую спираль
Берём "золотой прямоугольник" с отношением сторон, равным числу Фи:
204 x 126 = 1,618. Отсекаем от него квадрат со сторонами, равными высоте прямоугольника, потом снова отсекаем подобный квадрат со сторонами, равными высоте нового малого прямоугольника, получившегося отсечением квадрата. Так в теории можно продолжать до бесконечности, но мы отсечём таких квадратом только шесть, при этом квадраты нужно отсекать так, чтобы они были расположены как бы "закруглённо" друг к другу. Далее проводим дуги через противоположные углы квадрата так, чтобы они вместе образовывали спиральную дугу. И вот у нас получилась золотая спираль, встречающаяся повсюду в природе.
Замечение: Существуют прямоугольники с неудобными сторонами, в которых спираль закручивается слишком резко.
7) Теорема Пифагора
Официально теорема Пифагора звучит так: "Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов".
Формула:
Это формула означает, что гипотенуза, умноженная саму на себя, равна сумме катетов, каждый из которых умножен сам на себя:
Пифагор выяснил, что это правило работает всегда, но только для прямоугольных треугольников, т. e. для тех, у которых один угол равен 90 градусов.
Проверим теорему Пифагора на примерах различных прямоугольных треугольниках:
1)
2)
3)
Таким образом, мы видим, что теорема Пифагора, но с учётом погрешности работает, а также то, что чем больше треугольник, тем больше погрешность. Важно уточнить, что погрешность возникла из-за округления произвольных сторон треугольников, значения которых на самом деле представляют собой длинные десятичные дроби (напр. 70,71067811865475 в квадрате даёт ровно 5000), которые мы для удобства счёта округлили. Теорема Пифагора абсолютно точна.
Проверим теорему ещё на прямоугольном равнобедренном треульнике (у равнобедренного треугольника две стороны равны):
Для всех четырёх проверенных треугольников расхождение между левой и правой частью формулы не превысило 1,65%. Такое систематическое совпадение вряд ли могло бы возникнуть случайно, если бы формула c^2 = a^2 + b^2 была неверна. Конечно, строгое доказательство теоремы Пифагора — геометрическое, но наш эксперимент наглядно показывает, что она отлично работает и на практике, особенно если измерения выполнены аккуратно.
8) Пифагоровы тройки:
Существует такое понятие как "пифагорова тройка" - это набор трёх натуральных чисел, которые удоволетворяют теореме Пифагора, и зная их, можно находить неизвестную сторону прямоугольного треугольника без вычислений. Примеры таких троек: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; и другие.
Проверим пифагоровы тройки:
1)
2)
3)
9) Решение задач на теорему Пифагора:
Попробуйте решить следующие задачи:
1)
2)
3)