В то время как Альберт Эйнштейн был гением физики XX века, Александр Гротендик был гением математики. О нем известно гораздо меньше, потому что математика становится все более сложной даже быстрее, чем физика. Но, как и в случае с Эйнштейном, влияние Гротендика определялось не только его собственными революционными открытиями. Его работа также переориентировала всю его дисциплину в радикально новом направлении.
Гротендик с ранних лет был целеустремленным и аскетичным. Начиная с 1950-х годов, когда ему было чуть за 20, он написал тысячи страниц формальных и неформальных заметок, которые изменили ход развития математики. В 1970 году он уволился. Он оставил престижный исследовательский институт недалеко от Парижа, чтобы преподавать в провинциальном университете в Монпелье, где учился сам. Он почти перестал общаться с другими математиками. В начале 1990-х он переехал в небольшую деревню в Пиренеях, где жил отшельником.
Математики до сих пор спорят о нововведениях, которые он совершил полвека назад. Его работа вывела математику на новый уровень абстракции, сосредоточив внимание на отношениях между объектами, а не на самих объектах. «Если в математике и есть что-то, что восхищает меня больше всего (и, несомненно, всегда восхищало), то это не «число» и не «размер», а неизменно форма», — писал он в своих мемуарах. «И среди тысячи и одного облика, под которыми форма предстает перед нами, меня больше всего завораживала и продолжает завораживать структура, скрытая в математических величинах».
Его революционная математика была сосредоточена на поиске скрытой структуры.
Раскрытие форм
Наиболее известен Гротендик своими работами в области алгебраической геометрии. Изначально эта область развивалась как изучение фигур, определяемых полиномиальными уравнениями — уравнениями, в которых переменные возводятся в фиксированную степень и складываются между собой. Это могут быть как простые линии (x – y = 0), так и окружности (x^2 + y^2 – 1 = 0). Но по мере того, как вы рассматриваете все больше переменных, возведенных в разные степени, а также ищете решения, удовлетворяющие не одному, а целому набору уравнений, все становится сложнее и абстрактнее.
Эта дисциплина начала активно развиваться в конце XIX века, когда математики стали задаваться вопросом, что произойдет, если вместо обычных чисел в уравнения подставлять числа из других, более абстрактных множеств.
До Гротендика алгебраическая геометрия была интересной и активно развивающейся областью математики. Но в то же время она переживала своего рода кризис, как писал математик Дэвид Мамфорд.
«Каждый исследователь использовал свои собственные определения и терминологию, в которых “основы” предмета описывались как минимум на полудюжине разных математических “языков”».
Затем появился Гротендик и перевернул с ног на голову запутанный мир исследователей, ошеломив их [новой] терминологией... а также огромным количеством новых и очень интересных результатов».
Наиболее известен Гротендик тем, что представил математические конструкции, которые помогли ему и другим учёным доказать давние гипотезы и со временем сами стали центральными объектами изучения.
Благодаря его работам алгебраическая геометрия оказалась в центре множества других областей математики, среди которых топология, теория чисел, теория представлений и логика. «Гротендик никогда не занимался непосредственно теорией чисел, — сказал Брайан Конрад из Стэнфордского университета, — но идеи, которые он привнес в алгебраическую геометрию, полностью изменили подход к теории чисел».
Его первым крупным достижением в алгебраической геометрии стало обобщение теоремы Римана — Роха, сделанное в 1957 году. Эта теорема, доказанная столетием ранее, определяет, какие функции можно определить на поверхности в зависимости от ее формы. Как написала Лейла Шнепс из Французского национального центра научных исследований, доказательство Гротендика «мгновенно сделало его звездой в мире математики».
По словам Конрада, благодаря его методам «становится доступно совершенно новое множество операций». «Это открывает совершенно новый взгляд на то, почему теорема верна».
Затем, так же быстро, Гротендик переключился на другую тему. На Международном конгрессе математиков в 1958 году он объявил о намерении перестроить всю алгебраическую геометрию. Для этого он собирался использовать так называемые схемы.
Новая математическая схема
Десятью годами ранее математик Андре Вейль выдвинул гипотезу о связи между решениями полиномиальных уравнений, определяемых в двух совершенно разных математических контекстах. Первый контекст — это конечные поля, системы счисления, в которых используется циклическая форма арифметики. Второй контекст — это комплексные числа, которые представляют собой привычные нам числа с добавлением квадратного корня из -1, называемого i.
Вейль выдвинул четыре гипотезы, связывающие многочлены из одной области с многочленами из другой. По словам Конрада, эти гипотезы «звучат как диалог между параллельными вселенными».
В попытке доказать эти гипотезы Гротендик предложил свое понятие схемы. Попытки доказательства были «главной мотивацией для создания теории схем», по словам Дэниела Литта из Университета Торонто, но «на самом деле теория схем дала гораздо больше».
До Вейля математики говорили о таких уравнениях, как x^2 + y^2 – 1 = 0, только в привязке к конкретной системе счисления, в которой они работали. Решения таких уравнений выглядели бы совсем по-другому, если бы x и y могли быть только целыми числами, а не любыми действительными или комплексными числами.
После того как Гротендик нашел объяснение истинности гипотез Вейля, математики пришли к выводу, что уравнения имеют осмысленную структуру, независимо от того, являются ли x и y комплексными числами, элементами конечного поля или бананами. На первый взгляд, это утверждение кажется таким же бессмысленным, как и утверждение о том, что предложение имеет смысл вне зависимости от того, на каком языке оно составлено. Но Гротендик определил математические структуры, которые позволили сделать подобные утверждения строгими и даже интуитивно понятными для тех, кто освоил его новый язык.
Как объяснил Конрад, «Гротендик нашел правильный способ определения абстрактных понятий пространства, новый подход к осмыслению пространств». Он понял, что «геометрию пространства можно исследовать не через точки, а через другие вещи».
Именно здесь на помощь пришли схемы Гротендика. Чтобы построить даже простую схему, нужно приложить немало усилий. Но если вы дочитаете до конца, то сможете понять, что такое схемы, и разобраться, чем они полезны.
Схемы — это геометрические пространства, построенные из абстрактных алгебраических элементов.
Начнём с абстрактного обобщения целых чисел, которое называется кольцом. Кольцо — это множество элементов, которые можно складывать, вычитать и умножать друг на друга, но не всегда можно делить. (Например, в кольце целых чисел нельзя разделить 2 на 3, потому что 2/3 не является целым числом.)
Теперь рассмотрим подмножество вашего кольца, которое является «замкнутым», то есть если сложить или вычесть два элемента из этого подмножества, результат тоже будет принадлежать этому подмножеству. Например, возьмем все числа, кратные 5. Это подмножество не только замкнуто, но и обладает еще одним свойством: если умножить любое число в кольце на элемент из этого подмножества, результат тоже будет принадлежать этому подмножеству. Такое подмножество математики называют идеалом.
Более того, если вы перемножите любые два числа из этого множества и получите число из этого подмножества (3 × 5 = 15), то одно из перемноженных чисел (5) тоже должно быть в этом подмножестве, даже если второе (3) — нет.
Благодаря второму свойству подмножество является простым идеалом. (Чтобы понять почему, рассмотрим кратные 6 числа. Они образуют идеал, но не простой идеал, потому что 2 × 3 входит в идеал, а 2 и 3 — нет.)
В случае с целыми числами простые идеалы — это множества кратных, соответствующие каждому из простых чисел, а также нулю. Можно рассматривать множество всех простых идеалов кольца как единое геометрическое пространство. Для начала представим каждый простой идеал в виде точки. Затем определим «топологию» для этих точек, разделив их на окрестности в зависимости от общих элементов. (Как ни странно, нулевой идеал оказывается «близким» ко всем простым идеалам, что указывает на ранее неизвестную структуру, скрывающуюся за целыми числами.)
Новаторство Гротендика заключалось в том, что он добавил к этому пространству дополнительный уровень — недавно открытую математическую надстройку под названием «пучок», которая содержит дополнительную алгебраическую информацию.
Например, в каждой точке вашего пространства этот пучок связывает другое множество, называемое стеблем. Вернемся к одному из простых идеалов целых чисел: точке в нашем пространстве, представляющей подмножество всех чисел, кратных 5. Стебель, связанный с этой точкой, будет содержать все дроби, знаменатели которых не делятся на 5. (Стебель, связанный с нулем, содержит все возможные дроби.) В этом простом примере сложно понять, для чего нужны стеки, но в более сложных схемах вычисление содержимого стеков и способов их взаимодействия друг с другом оказалось математически сложной задачей.
Весь этот объект — пространство первичных идеалов с построенным на его основе пучком (и всеми его стеками) — называется аффинной схемой. В общем случае схемы строятся путем точного математического склеивания аффинных схем.
Так какое же отношение все это имеет к уравнению вроде x^2 + y^2 – 1 = 0? Что ж, вместо того чтобы начинать с кольца целых чисел, можно изучить конкретное кольцо, связанное с этим многочленом. Затем можно построить схему для этого кольца.
Но что особенно важно, переменные x и y могут быть любыми: целыми, действительными, комплексными числами, элементами конечного поля. Изучая свойства схемы, вы можете получить представление о структуре уравнения, не зависящее от конкретной системы счисления. Как бы невероятно это ни звучало, но таким образом можно изучать предложение независимо от языка, на котором оно записано.
В общих чертах, именно поэтому Гротендик и другие математики смогли использовать схемы — и ряд идей, основанных на них, — чтобы заново доказать одну из четырех гипотез Вейля и еще две. (Ученик Гротендика Пьер Делинь позже использовал другие структуры, разработанные Гротендиком, чтобы доказать четвертую гипотезу, которая является версией знаменитой гипотезы Римана для конечных полей.) Гротендик продолжал разрабатывать еще более абстрактные и мощные концепции, в том числе топосы, стеки, мотивы и этальные когомологии. Все они сегодня играют важную роль в алгебраической геометрии и других областях математики.
Схемы дали математикам новый систематический способ изучения взаимосвязей между объектами в алгебраической геометрии. А поскольку схемы позволяют изучать кольца, которые встречаются во всех разделах математики, как геометрические пространства, их можно использовать для внедрения геометрических методов в алгебру, теорию чисел и другие области.
Гротендик умер в 2014 году после многих лет уединения, отдалившись от математического сообщества, которое он помог создать. Тем не менее математики вспоминают его с благоговейной любовью. Как писал гарвардский математик Барри Мазур, «в начале 1960-х его речи были наполнены уверенностью и спокойствием». Он излагал математические идеи с улыбкой, в которой всегда сквозила щедрость... ощущение, что «нет ничего проще на свете», чем смотреть на вещи его глазами».
Его идеи были сложны для понимания, но «большинство аргументов очень просты, если в них вникнуть, — сказал Литт. — Нужно просто продолжать двигаться вперед. Он указал нам путь».
- Моя достаточно давняя статья о жизненном пути Гротендика
- Много интересного - в телеграм "Математика не для всех"
- Взгляд на философию со стороны технаря - телеграм "Философия не для всех"