Рассмотрим решение задачи, которую подробно разобрал Валерий Казаков на своём канале. Задача дана под заголовком Китайский ад! Задачу китайского Гаокао валят две секретные теоремы. Итак, задача.
1. В прямоугольном треугольнике ABC (угол С – прямой) провели биссектрису AK и медиану BM. Угол MBC оказался равен половине угла A. Найдите гипотенузу AB треугольника, если AC = 2.
Главная идея решения ясна из следующего кадра.
Источник. Китайский ад! Задачу Гаокао валят две секретные теоремы! | Наглядная геометрия | Дзен
Около четырёхугольника ABKM можно описать окружность, потом применить теорему об отрезках секущих, проведённых к окружности из одной точки, потом решить систему двух уравнений с двумя неизвестными. Осталось применить теорему Пифагора, и гипотенуза будет найдена.
Показанный приём решения интересен. Но мы пойдём другим путём. Поскольку это задача выпускного экзамена, то можно применить любые известные факты. Применим формулу тангенса двойного угла.
Но задачу можно решить проще — без тригонометрии и уравнений.
На продолжении отрезка AC за точку С отметим точку D так, чтобы MC = CD = 1. Продлим биссектрису AK до пересечения с отрезком BD в точке E.
И никаких секретных теорем и сложных вычислений. Так что не так страшен этот китайский Гаокао…