Он появился на свет 14 июня 1941 года в Москве. Вся семья Александра Потапова была связана с военной сферой. Отец был лётчиком, в годы войны командовал полком, дослужился до звания генерал-лейтенанта, а после руководил авиационным заводом. Мама работала инженером в конструкторском бюро по разработке самолётов. Сыновей родители видели продолжателями семейного дела. В результате брат будущего актёра стал военным врачом, а сам Александр готовился к профессии военного инженера.
С детства он сильно заикался и, чтобы бороться с недугом, начал разучивать и декларировать стихи. На пользу пошли и занятия в кружке художественной самодеятельности — школьником Саша с удовольствием участвовал в спектаклях и концертах. Однако об актёрстве не могло быть и речи. Родители отправили сына в Суворовское училище, чтобы там его готовили к карьере военного. В остальное время парень активно занимался плаванием — вошёл в юношескую сборную и получил звание мастера спорта международного класса.
После училища Александр поступил в Военно-воздушную инженерную академию имени Жуковского. Учёба всегда давалась ему легко, но очень скоро Потапов начал понимать, что военная дисциплина и казарменный режим ему совсем не подходят. В свободное время он участвовал в самодеятельности, а однажды принял смелое решение — отчислился из академии и отправился поступать в театральный.
Потапов успешно прошёл два этапа вступительных испытаний в Щепкинском училище, а в последнем третьем туре увидел в комиссии легендарного Игоря Ильинского и так разволновался, что не мог вымолвить ни слова. За талантливого парня вступился лично руководитель курса Леонид Волков и потребовал принять его в ряды студентов. Волков стал для него главным наставником в профессии — от мастера молодой актёр чётко усвоил, что для настоящего актёра на первом месте должен быть театр, а кино служит лишь дополнением.
Семья будущего актёра новость о его поступлении в театральный восприняла в штыки. Отец даже выгнал сына из дома, так что он перебрался в общежитие. Первой начала оттаивать мать — она ходила на спектакли и даже рассказывала сидящим по соседству зрителям, что на сцене её сын. После выпуска Александра Потапова приглашали в ленинградский БДТ, но он решил остаться в столице и пополнил труппу Малого театра. Лишь когда сын стал звездой большой сцены, его выбор сумел принять и разочарованный отец. Малому театру Потапов был верен полвека, до самой своей смерти. На этой сцене он играл Лопахина в «Вишнёвом саде», Скотинина в «Недоросле», Муромского в «Свадьбе Кречинского», Городничего в «Ревизоре».
В кино он дебютировал ещё студентом — промелькнул в образе молодого рабочего в социальной драме «Мечты сбываются». Затем были небольшие роли в фильмах «У крутого яра», «Крепостная актриса», «Полустанок». Первую главную роль на экране Александр Потапов исполнил в военной мелодраме Петра Тодоровского «Верность» — сыграл курсанта военного училища Сеню Мургу, отдав дань уважения семейному делу. Форму в своей актёрской биографии он примерял ещё не раз — из простого солдата и матроса за годы творчества дорос до генерального прокурора России и генерала КГБ.
На первом месте для Александра Потапова всегда был театр. Однажды всемогущий Иван Пырьев пригласил его на небольшую роль в своём новом фильме, но молодой актёр без сожаления отказался. Режиссёр был в гневе и даже приказал не пускать наглеца на киностудию. Позже Леонид Гайдай планировал утвердить Потапова на роль Шурика в «Кавказской пленнице» вместо Александра Демьяненко. Актёр не сразу осознал улыбнувшуюся ему удачу и отправил короткую телеграмму: «Буду через два дня». Только вот ждать его никто не стал. Уже позже он понял, какой шанс упустил.
Тем не менее в кино Александр Потапов появлялся довольно часто, не отказывался и от эпизодов. Актёр перевоплотился в сотрудника ЖЭКа в «Афоне», сыграл Петра Соломина в «Сибириаде» и второго мужа Ненароковой в «Экипаже», одноклассника с молочного комбината в «Однажды, двадцать лет спустя», милиционера в «Авария — дочь мента», председателя колхоза в «Любить по-русски».
Особое место в фильмографии актёра занимали роли Никиты Хрущёва. Из-за внешнего сходства с генсеком Александр Потапов перевоплощался в него дважды — в исторической драме «Чудо» и в биографическом сериале «Жуков». Последней прижизненной картиной Потапова стал шпионский детектив «Убить Сталина», где он сыграл стареющего актёра Ордынцева.
В личной жизни Александра Потапова развернулась история, достойная экранизации. Ещё подростком он повстречал на танцплощадке первую любовь. Наташа Кашина училась в школе, он был курсантом Суворовского училища. Молодых людей накрыло искреннее чувство, но вскоре судьба развела их пути. Александр поступил в Щепку и женился на однокурснице Людмиле Черепановой, однако брак оказался ошибкой.
Когда Потапов развёлся, в его жизни вновь появилась Наталья. Былые чувства вспыхнули с прежней силой, и влюблённые начали жить вместе. Однако за три года их отношения так и не перешли на следующий этап — они расстались снова. Наталья вышла замуж, родила ребёнка. Александр тоже женился — его избранницей стала редактор журнала Елена Шестакова. Вторая супруга подарила мужу двух наследников — Сергея и Владимира. По стопам отца они не пошли — старший стал художником-реставратором, младший выбрал профессию юриста. Сыновья порадовали знаменитого папу шестью внуками, в которых Александр Потапов души не чаял.
Любимый муж, прекрасный отец и счастливый дедушка — именно таким казался Александр Потапов со стороны все те 40 лет, что прожил во втором браке. Однако в душе актёра все эти годы таилась горечь разочарования. Он так и не смог забыть свою первую любовь. Вырастив детей, они с Натальей вновь стали встречаться, каждое лето ездили вместе отдыхать в Крым, а затем возвращались домой к нелюбимым супругам.
В 70 лет Александр Потапов наконец решился стать счастливым. Он рассказал о своих давних чувствах сыновьям, и те смогли понять отца. Актёр развёлся с женой и наконец официально узаконил отношения с женщиной, которую любил всю жизнь. У него словно открылось второе дыхание, появилось вдохновение, силы жить и творить. Потапов преподавал в родном Щепкинском училище, радовал поклонников со сцены Малого театра, снимался в «Тихом Доне» Сергея Урсуляка.
Увы, запоздалое счастье оказалось скоротечным. Судьба уготовила Александру и Наталье лишь три года совместной жизни. 8 ноября 2014 года 73-летний актёр скончался во сне от остановки сердца. Народного артиста РСФСР похоронили на столичном Троекуровском кладбище.