В статье
я использовал теорему о том, что в треугольнике против бóльшего угла лежит бóльшая сторона. Захотелось посмотреть, а как она доказывается.
Попался мне на глаза учебник
Математика. Геометрия : 7 – 9 классы : базовый уровень : учебник /
Л.С. Атанасян, ВФ. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. — 14-е изд., перераб. —
Москва : Просвещение, 2023.
и стал я его изучать. Решил поделиться впечатлениями.
Все цитаты и номера страниц даны по этому изданию. Сканы могут быть по другому изданию; в этом случае я выверяю совпадение текстов.
Фигуры вообще
Фигура, по мысли авторов, основное, неопределяемое понятие (с. 372). Но в таких случаях понятие вводится аксиомами. Уже на ранней стадии обучения следовало бы упомянуть, что фигура состоит из точек, и объяснить, что это значит, когда одна фигура является частью другой. И что значит, что фигура состоит из других фигур. (Здравствуйте, Андрей Николаевич!)
Понятие границы предлагаю считать тоже основным неопределяемым понятием. Граница отрезка это его концы, граница треугольника состоит из его сторон, и т.д.
"Фигура ограничена линией" — это понятие, наглядно очевидное, тоже следует считать неопределяемым. Авторы учебника тоже считают так. Вот, как раз сейчас пойдёт разговор об этом.
Часть плоскости, ограниченная...
Угол. Внезапно в учебнике на с. 10 приведено 2 разных взаимоисключающих определения угла. Я назову углом1 понятие, вводимое первым определением:
Соответственно, угол2 определяется так:
Здесь не хватает уточнения, сама вершина и ограничивающие лучи являются частью угла или нет. Забегая вперед, прихожу к необходимости указать, что включать или не включать в "часть плоскости" её границу или какие-либо её части — несущественно, все рассмотрения углов в дальнейшем от этого не зависят. То есть понятие угла2 вводится с точностью до границы. Соответственно, равенство углов также вводится с точностью до границы. (Этот термин я использую только здесь для читателей. Ученикам вводить его в чёткой формулировке нет необходимости. Мы увидим, что нечёткость формулировок в учебнике это сознательно выбранный стиль изложения.)
Само по себе такое двоемыслие не украшает математика, но
- сделаем скидку на то, что это книга для незрелых математиков;
- посмотрим по контексту, каким из этих определений реально оперируют авторы.
Биссектриса угла определяется как луч, делящий угол на 2 равных угла (с. 13). Если делить пополам фигуру из двух лучей, то получится 2 отдельных луча. И неясно, куда отнести вершину. Поделить на 2 равные части не получается. Так что биссектриса определяется для углов2.
На с.с. 12 – 13 при обсуждении сравнения углов идёт речь о части угла. То же имеет место на с. 72 при доказательстве теоремы об углах и сторонах треугольника. Здесь опять угол2.
Я не обнаружил ни одного использования понятия угол1. Если читатель найдёт такое, что невозможно или трудно заменить в рассуждении угол1 на угол2, то прошу сообщить в комментариях.
Многоугольник (в частности, треугольник). На с. 6 учебника многоугольник определён, как замкнутая ломаная. Следовательно, многоугольник состоит из конечного числа отрезков.
И тут же (с. 7)
Фигуру, состоящую из сторон многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.
У нас опять под одним термином 2 разных понятия. Временно буду называть их многоугольник1 и многоугольник2. Когда идёт разговор о площади многоугольников, то авторы имеют в виду (хотя явно не указывают на это) многоугольник2. Ибо здесь далее будет показано, что площадь многоугольника1 равна 0.
При этом, разбивая прямоугольник на единичные квадраты, авторы не задумываются, какому из квадратов будет принадлежать разделяющая их общая сторона.
Если биссектриса треугольника разбивает треугольник на 2 треугольника (с. 36), то какому из полученных частей-треугольников принадлежит сама биссектриса? Невозможность ответить на этот вопрос показывает, что здесь мы работаем не с треугольниками1. А если речь идёт о треугольниках2, то опять: какому из них принадлежит сама медиана? Можно, конечно, признать её принадлежащей одновременно обоим треугольникам, но тогда надо будет объяснять понятие "разбивает" — с точностью до границы.
Эти 2 неопределённости опять приводят к тому, что определение многоугольника2 следует давать с точностью до границы.
Спрашивается, зачем нужно было — с нарушением логики изложения — вводить понятия, которые не используются. Разве только для того, чтобы написанный учебник чем-то принципиально отличался от ранее существующих...
Вряд ли есть что-либо более вредное для духовного — умственного и морального — развития, чем приучать человека произносить слова, смысл которых он толком не понимает и при необходимости руководствуется другими понятиями.
(акад. А.Д. Александров о "колмогоровских учебниках"; источник.)
И что бы авторы не писали об этом, подсознательно они считают многоугольником часть плоскости, то есть многоугольник2. То же касается и угла.
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
(С. 44). Наконец-то, тут уже не 2 разных определения, а просто то, которое и следует давать. Авторы проигнорировали необходимость делать политес относительно первой версии определения. А куда деваться! Назвать кругом окружность — этого любой грамотный человек не примет.
Справедливости ради надо указать, что люди, малознакомые с математикой, часто действительно путают окружность и круг. Например, Полярный круг — линия.
Часть плоскости, ограниченная линией — похоже, что авторы пытаются по возможности скрыть использование этого понятия, но им, конечно, не удаётся обойтись без него. И в самом деле, на с. 7 читаем:
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая — внешней областью многоугольника.
Это понятие можно определить и использовать на основе очень высшей математики (теорема К. Жордана), а в 7 классе его следует вводить как неопределяемое, основное понятие.
Площади
Такие геометрические величины, как величина угла, длина и площадь, определяются с точностью до границы фигур. О геометрических величинах есть одно принципиальное утверждение:
- Если целое разбить на конечное число частей, то величина целого равна сумме величин частей.
Строго говоря, это одна из аксиом, определяющих понятие величины. Как следствие,
- Величина части не более величины целого.
Говоря об измерении углов в случае целого числа градусов (с. 19), о площади прямоугольника с целочисленными сторонами (с. 140), о площади кругового сектора с углом 1° (с. 307), авторы рассматривают фигуры как суммы (с точностью до границы) одинаковых элементарных фигур. Так что они используют указанную аксиому, хотя и не формулируют её явно.
А следствие о величине части необходимо, например, при рассказе о площади круга (с. 305).
Естественно, что вопрос о том, какие фигуры имеют величину (измеримы), полностью игнорируется.
Теперь примем пока без обоснований, что площадь прямоугольника равна произведению его измерений, и выведем из этого интересные факты.
Теорема. Площадь любого отрезка равна 0.
Доказательство. Пусть a — длина отрезка. Для произвольного значения ε > 0 возьмём положительное b < ε / a. Накроем отрезок прямоугольником со сторонами a и b. Площадь отрезка (части) не более площади прямоугольника (целого), которая меньше, чем ε. Таким образом, площадь отрезка меньше любого положительного числа. Из неотрицательных чисел таким свойством обладает только 0.
Следствие. Площадь многоугольника1 равна 0.
Доказательство. Сумма конечного числа нулей равна нулю.
Но не беда!
Логические неточности и погрешности для школьного учебника — вещь обыкновенная. Цель обучения в школе — сообщить учащемуся верные сведения и создать впечатление их обоснованности (доказанности).
Но во всяком случае, кривые, логически некорректные, бесполезные и поэтому ненужные определения угла1 и многоугольника1 желательно удалить.
Неясно только, зачем было сочинять ещё один учебник, изобилующий логическими ляпами в той же мере, что и прежние.
В треугольнике против бóльшей стороны
лежит бóльший угол. Доказательство этой теоремы приведено на с. 72:
Что мы видим? Доказательство требует изобретения дополнительного построения (точка D). Подчёркнутое красным утверждение не доказано. Если бы была соответствующая теорема
Если дан угол с вершиной O и обе его стороны пересекаются прямой l в точках A и B, точка D лежит на l между A и B, то угол AOD меньше угла AOB.
то была бы ссылка на неё. Вместо этого авторы опираются на очевидность картинки.
Предлагаю вместо этого доказательство теоремы — и обратной к ней — простым вычислением в векторной алгебре.
Оно, конечно, не так романтично, как авторское, и его не стóит рекомендовать семиклассникам, зато оно логически полно и не опирается на картинки.
Зачем я этим занимаюсь? Просто чтобы не закиснуть мозгами.
Одна логическая ошибка
В учебнике в составе обсуждаемой Теоремы имеется 2 утверждения об углах и сторонах треугольника:
- Против бóльшей стороны лежит бóльший угол.
- Против бóльшего угла лежит бóльшая сторона.
У меня приведены независимые доказательства обоих. В учебнике доказано первое из них, а второе выводится из первого методом "от противного".
И здесь обнаруживается серьёзная логическая ошибка. Чтобы её увидеть, придётся вернуться к теме "Свойства равнобедренного треугольника" (§ 18,
с. 35).
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Для нас представляет интерес
Предложение. Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный, и равны стороны, противолежащие этим углам.
Это Предложение не содержится в § 18; в задачах, предложенных для решения, его тоже нет.
Но оно использовано авторами при выводе утверждения 2 из первого, без каких-либо указаний или ссылок на сформулированное здесь Предложение:
Вместо этого на с. 73 находим
Так что доказательство Теоремы (а именно, Утверждения 2 из неё) опирается на Следствие 2 из этой Теоремы. Порочный круг!
Бедные ученики! Они на таком материале должны получить представление о том, что такое доказательство. Конечно, им придётся элементарно зазубрить предложенный текст, не вникая в логику рассуждений.
А выход здесь следующий. Сначала сформулировать и доказать Теорему, состоящую только из Утверждения 1, затем Следствие 2 (его доказательство использует именно Утверждение 1), а затем уже из Следствия получить следующую Теорему, состоящую из Утверждения 2.
Эта статья из подборки