Будущая знаменитая актриса росла в творческой семье. Её мать, Елена Семёновна, была художником — одной из первых в СССР, кто освоил роспись по ткани (батик). Отец, Игорь Николаевич Полинковский, работал фотожурналистом.
Свою первую роль в кино Наталья сыграла, когда училась в первом классе. Всё началось с театра: с шести лет она выходила на сцену в спектакле «Тридцать сребреников». Ту самую девочку заметила писательница Агния Барто. Как раз в то время по её сценарию снимался фильм «Алёша Птицын вырабатывает характер» (1953), и Барто лично предложила юную Наташу на роль Сашеньки.
За ней последовала главная роль в ещё одном детском фильме — «Девочка и крокодил» (1956). Так что к моменту съёмок в легендарной «Операции „Ы“ и других приключениях Шурика» молодая актриса (роль студентки Лиды) уже обладала солидным опытом работы в кино.