Есть задача, известная автору этих строк со школьных лет, про длину ломаной с бесконечным числом звеньев. Она приведена в нашем учебнике алгебры для 9 класса (С. М. Никольский и др.) под номером 502. Рассмотрим два способа решения этой задачи применительно к «египетскому» треугольнику – геометрический и с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
1. В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AC = 3, BC = 4 построили ломаную с бесконечным числом звеньев. Первое звено — катет AC, второе — высота CD в треугольнике ABC, третье — высота DE в треугольнике BCD, и т. д. Найдите длину ломаной ACDE…
Решение. Построим прямые BX и BY, перпендикулярные отрезкам AB и BC соответственно. Продлим звено AC и параллельные ему звенья до пересечения с прямой BX, а через точки A и C и звенья, параллельные звену CD, проведём параллельные прямые до пересечения с прямой BY(см. рис.).
Получились параллелограммы ACRP, CDNM, …, в которых из равенства противоположных сторон следует, что PR = AC, RS = DE, … , MN = CD, NK = EF и т. д. То есть длина ломаной равна сумме длин отрезков BP и BM.
Прямоугольные треугольники ABP и ABC подобны по двум углам, так как в них углы BAP и ACB равны (оба прямые), углы PBA и BAC равны (накрест лежащие при параллельных прямых AC и BP и секущей AB). Составим пропорцию:
BP: AB = AB : AC,
BP: 5 = 5 : 3,
BP = 25/3.
Это и есть длина ломаной с бесконечным числом звеньев.
Ответ.15.
Теперь рассмотрим решение задачи, связанное с формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Бесконечная ломаная разбивает треугольник ABC на прямоугольные треугольники, подобные треугольнику ABC по двум углам. В каждом из них отношение катета к гипотенузе (звеньев ломаной) равно BC : AB = 4/5. Каждый следующий треугольник подобен предыдущему с коэффициентом 4/5. Поэтому сумма длин всех звеньев ломаной есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 3 и знаменателем q = 4/5. Вычислим эту сумму:
2. В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 построили ломаную с бесконечным числом звеньев, как в задаче 1, она разбила треугольник ABC на прямоугольные треугольники. В каждый такой треугольник вписали окружность. Найдите сумму бесконечного числа радиусов этих окружностей.
И здесь начнём с геометрического решения.
Второй способ решения основан на применении формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
При решении задачи 1 мы доказали, что бесконечная ломаная разбивает данный треугольник на треугольники, подобные треугольнику ABC – каждый следующий подобен предыдущему с коэффициентом 4/5. Поэтому сумма всех радиусов равна
С учащимися полезно разобрать каждый способ решения этих двух задач, а в качестве домашнего задания предложить аналогичные задачи, в которых первым звеном ломаной с бесконечным числом звеньев является катет BC. Должны получиться ответы 10 и 2 соответственно.