Сегодня разберем задачи, которые часто встречаются в 5–6 классах. Главная проблема детей — путать объем и площадь. Объем — это то, что внутри (кубики), а площадь поверхности — это то, снаружи (бумажка, которой обернули коробку).
Поехали по типам. Запоминаем всего три формулы — и все задачи решатся сами.
Часть 1. Главные формулы (их правда мало) 📝
Для куба (все ребра одинаковые):
- Объем = ребро × ребро × ребро
Объем: V = a³ (a — ребро)
- Площадь поверхности = 6 × (ребро × ребро)
Площадь поверхности: S = 6a² (6 граней, каждая площадью a²)
Для прямоугольного параллелепипеда (коробка, у которой длина, ширина и высота разные):
- Объем = длина × ширина × высота
Объем: V = a × b × c (длина × ширина × высота)
- Площадь поверхности = 2 × (длина×ширина + длина×высота + ширина×высота)
Площадь поверхности: S = 2 × (ab + ac + bc)
Для прямой призмы (где в основании любая фигура):
- Объем = площадь основания × высота
Объем: V = S(основания) × h (площадь основания умножить на высоту)
Часть 2. Первый тип задач: куб, когда известно ребро
Здесь всё просто: подставляем число в формулы и считаем.
Пример. Ребро куба 4 см. Найти объем и площадь поверхности.
- Объем = 4 × 4 × 4 = 64 см³
- Площадь поверхности = 6 × (4 × 4) = 6 × 16 = 96 см²
Другие примеры этого типа (ребра 2, 4, 5, 7, 10 см):
Ребро 2 см → объем 8 см³, площадь 24 см²
Ребро 5 см → объем 125 см³, площадь 150 см²
Ребро 7 см → объем 343 см³, площадь 294 см²
Ребро 10 см → объем 1000 см³, площадь 600 см²
Часть 3. Второй тип задач: куб, когда известен объем
Здесь главное — найти ребро. Как? Надо подобрать число, которое при умножении само на себя три раза даст известный объем. В 6 классе это делается подбором, без всяких корней.
Пример. Объем куба 27 см³. Найти площадь поверхности.
- Подбираем: 1×1×1 = 1 (мало), 2×2×2 = 8 (мало), 3×3×3 = 27 (подошло!). Значит, ребро 3 см.
- Теперь площадь: 6 × (3×3) = 6 × 9 = 54 см²
Другие примеры этого типа:
Объем 64 см³ → подбираем: 4×4×4 = 64 → ребро 4 см → площадь 6×16 = 96 см²
Объем 125 см³ → подбираем: 5×5×5 = 125 → ребро 5 см → площадь 150 см²
Объем 216 см³ → подбираем: 6×6×6 = 216 → ребро 6 см → площадь 6×36 = 216 см²
Объем 1000 см³ → подбираем: 10×10×10 = 1000 → ребро 10 см → площадь 600 см²
Часть 4. Третий тип задач: прямоугольный параллелепипед с условиями
Самое важное — внимательно прочитать, как ширина и высота связаны с длиной. Обычно фразы такие:
- «ширина в 2 раза больше длины» → значит, ширину получаем умножением длины на 2
- «высота на 11 см больше ширины» → значит, к ширине прибавляем 11
- «ширина в 1,5 раза больше» → умножаем длину на 1,5
- «высота на 5 см меньше ширины» → из ширины вычитаем 5
Разберем одну задачу подробно.
Длина 16 см, ширина в 2 раза больше длины, высота на 11 см больше ширины.
- Сначала находим ширину: 16 × 2 = 32 см
- Потом высоту: 32 + 11 = 43 см
- Объем: 16 × 32 × 43. Считаем по частям: 16×32 = 512, 512×43 = 512×40 + 512×3 = 20480 + 1536 = 22016 см³
- Площадь поверхности: 2 × (16×32 + 16×43 + 32×43). Считаем в скобках: 512 + 688 + 1376 = 2576. Умножаем на 2: 5152 см²
Остальные задачи этого типа решаются точно так же — шаг за шагом.
Длина 10 см, ширина в 3 раза больше (30 см), высота на 5 см меньше ширины (25 см) → объем 7500 см³, площадь 2600 см²
Длина 8 см, ширина в 4 раза больше (32 см), высота на 7 см больше длины (15 см) → объем 3840 см³, площадь 1712 см²
Длина 12 см, ширина в 2,5 раза больше (30 см), высота на 9 см меньше длины (3 см) → объем 1080 см³, площадь 972 см²
Длина 20 см, ширина в 1,5 раза больше (30 см), высота на 4 см больше ширины (34 см) → объем 20400 см³, площадь 4800 см²
Часть 5. Четвертый тип: прямая призма
Здесь вообще ничего сложного — просто умножаем площадь основания на высоту.
Пример. Площадь основания 15 см², высота 2 см → объем = 15 × 2 = 30 см³
Другие примеры:
- Площадь основания 17 см², высота 23 см → объем = 17 × 23 = 391 см³
- Площадь основания 24 см², высота 4 см → объем = 24 × 4 = 96 см³
Часть 6. Как не ошибаться (самые частые ловушки) ⚠️
Ловушка 1. Перепутать объем и площадь
- Объем — считаем в кубиках (см³). Представьте, что наполняете коробку кубиками.
- Площадь — считаем в квадратиках (см²). Представьте, что обклеиваете коробку бумагой.
Ловушка 2. Забыть умножить на 6 у куба
У куба шесть граней. Площадь каждой = ребро × ребро. Значит, общая площадь = 6 × (ребро × ребро).
Ловушка 3. Перепутать «в 2 раза больше» и «на 2 больше»
- «В 2 раза больше» → умножаем на 2
- «На 2 больше» → прибавляем 2
Ловушка 4. Не те единицы измерения
В ответе объем всегда в см³ (кубические сантиметры), площадь — в см² (квадратные сантиметры). Не теряйте их.
👇 Записывайтесь на летние онлайн занятия по математике для 1-9 класса. Индивидуально.👇