Родился 20 марта 1923 году в городе Туле в семье потомственного оружейника.
Учился в 1-й образцовой средней школе. В 1939 году окончил девять классов и работал чертежником в конструкторском бюро оружейного завода, одновременно занимаясь в аэроклубе.
Аэродром Мясново. Тульский аэроклуб. Герой Советского Союза Александр Николаевич Синицын
В 1940 году подал заявление в Борисоглебское лётное училище, но не прошёл по возрасту.
В 1941 году Кобзев был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. В 1942 году он окончил Свердловскую авиационную школу.
Сохранилось его письмо от 7 июля 1942 года к отцу.
«Здравствуйте, Папа!
Папа, как я уже писал вам ранее, нахожусь в другом месте, немного ближе к родному городу. А ещё ближе к брату. Ну... я живу хорошо, местность красивая, не то что Средняя Азия, где жара сейчас доходит до 45-50 градусов, и ни одной капельки дождя.
Папа, насчёт меня не беспокойтесь: здоровье как у бога. Даже, мне кажется, немного лучше. Ну бывает иногда, что зубы поболят да и бросят. Ну это не важно. Основное здоровье не подкачает. А вот, Папа, о себе Вы ничего не пишете. Мама тоже самое молчит, не пишет как живёте, как дела с продуктами, шамовкой? В следующем письме непременно напишите мне про всех моих знакомых ребят (Коську, Женьку Арестовых, Шурку Филипова и т. д.), про дядю Серёжу и когда получите деньги. Я выслал 1000 рублей. Вы, Папа! Мама меня спрашивает, как бы мне приехать (насчёт справки о выезде) — я в этом деле совершенно бессилен. Мне кажется, Коля лучше меня знает, Вы спросите у него. Он обещал приехать ко мне в начале июля, но не знаю приедет ли. Я Вам писал, что скоро выеду, но сейчас по этому поводу ничего не предвидится. Вероятно, ещё не скоро. Горячо целую маму.
Остаюсь любящий Вас ваш сын А. Кобзев». Адрес: Тула, Октябрьская улица, д. 149, Кобзевой Марии Васильевне.
С июля 1943 года — на фронтах Великой Отечественной войны.
Участвовал в боях с немецко-фашистскими захватчиками на Степном, 1-м и 2-м Украинских фронтах. Являлся членом ВЛКСМ.
К декабрю 1944 года гвардии младший лейтенант Анатолий Кобзев командовал звеном 140-го гвардейского штурмового авиаполка 8-й гвардейской штурмовой авиадивизии 2-й воздушной армии 1-го Украинского фронта. За время своего участия в боях он совершил 120 боевых вылетов на штурмовку скоплений боевой техники и живой силы противника, уничтожив в общей сложности 13 танков и бронетранспортёров, 37 автомашин, 23 повозки, 3 артиллерийских и 2 зенитных батареи, 5 складов.
9 декабря 1944 года под польским городом Пшедбуж Кобзев погиб при выполнении боевого задания. Похоронен на воинском кладбище в населённом пункте Лубийце Тарнобжегского воеводства Польши.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июня 1945 года гвардии младший лейтенант Анатолий Кобзев посмертно был удостоен высокого звания Героя Советского Союза.
Также был награждён орденом Ленина, двумя орденами Красного Знамени, орденом Красной Звезды.
В честь Кобзева 5 мая 1965 года была названа улица в Октябрьском посёлке (Тула). Прежде это был 3-й проезд.
На доме № 41 по улице Октябрьской, бывшей образцовой средней школе № 1, установлена мемориальная доска с надписью: «В этом здании школы № 1 учились Герои Советского Союза: Булат Б. А., Кобзев А. М., Токарев Н. А., Судейский С. Н.».
На доме №1 по улице Кобзева установлена мемориальная доска лётчику-герою с надписью: "Кобзев Анатолий Михайлович (1923-1944), туляк, Герой Советского Союза, лётчик. Совершил 120 боевых вылетов, геройски погиб при выполнении боевого задания на территории Польши".