Эллипс: поворот и смещение

Эллипс - это когда колбаску отрезали наискосок.

Уравнения эллипса давайте различать по степени их запутанности.

Базовая формула

эллипс с центром в начале координат, вписанный в прямоугольник, со сторонами, параллельными осям. На рисунке есть пример, крути карусельку.

Базовая формула: эллипс с центром в начале координат, вписанный в прямоугольник, со сторонами, параллельными осям.

Для того, чтобы нарисовать эллипс по каноническому уравнению, вам надо...

1. отметить по оси Ох значения а (вправо и влево);
2. отметить по оси Оу значения b (вверх и вниз);
3. нарисовать кирпич размером 2а х 2b и вписать в него овал.

Модифицированная формула: смещённый центр

если центр эллипса смещён, то уравнение немного сложнее. Обратите внимание, что координаты центра вычитаются, т.е. видим (x+5), значит абсцисса центра x0=-5.

Модифицированная формула: если центр эллипса смещён, то уравнение немного сложнее.

Если на вас вывалили формулу с положительными квадратами переменных и ещё чем-то там, но без слагаемых вида ху, то она задаёт эллипс со смещённым центром. Выделяйте полные квадраты по всем координатам, переносите вправо остальное, делите, рисуйте. Если повезёт, то обойдётесь без корней.

Давайте по шагам. Предположим у вас уравнение с квадратами и его ещё надо преобразовать (примерчик, кстати , есть):

1. Преобразуйте уравнение к каноническому виду, выделив полные квадраты (тут проще показать, чем описать). По итогу вы увидите координаты центра на положенных им позициях и параметры a и b (см. рисунок выше).
2. Отметьте новый центр (х0,у0) в системе координат и проведите через него новые оси.
3. Постройте прямоугольник размером 2а на 2b, ориентируясь на новый центр, и впишите в него эллипс.

Сложный случай: поворот

Уравнение содержит слагаемое "xy" и это значит, что эллипс повёрнут относительно координатных осей.

Уравнение содержит слагаемое xy и это значит, что эллипс повёрнут относительно координатных осей.

Тут можно сделать лирическое отступление про линейные пространства и квадратичные формы, но ближе к алгоритму, хорошо? Вы не против?

Если что, вот ссылка на лекции

Итак, для того, чтобы понять как это всё развернуло, вам надо...

1. составить матрицу из коэффициентов при слагаемых
2. найти собственные значения
3. найти собственные векторы (после этого уже можно рисовать)
4. найти группировку слагаемых в уравнении (это опционально, в случае с поворотом без смещения без этого можно обойтись)

для тех, кто любит когда написано поаккуратнее =)

Примерчик?

ПРИМЕРЧИК с поворотом. 1. составить матрицу из коэффициентов при слагаемых

Очень сложный случай: поворот и смещение

В предыдущем, там где только поворот, пункт 4 алгоритма носил опциональный характер, а вот в этом случае пункт 4 - обязательный!

Итак, для того, чтобы понять как это всё развернуло и сместило, вам надо...

1. составить матрицу А из коэффициентов при слагаемых при квадратах и ху;
2. найти собственные значения А;
3. найти собственные векторы и нормировать их;
4. найти матрицу перехода и зависимость старых и новых координат;
5. подставить зависимость в уравнение и перегруппировать слагаемые, выделяя полные квадраты.

Давайте на примере?

Но предупреждаю, это вам не просто перетасовать слагаемые! Тут будет лютое исследование с арсеналом из теории линейных операторов.

Мало показалось?

Тогда ещё примеры тут.

Кстати,

с уравнением со слагаемым вида bxy можно нечаянно вылететь из эллипса и влететь в случай гиперболы или параболы (если собственные значения не являются положительными).

Но это уже немного другая история.