Задание 17 в ВПР по математике считается одним из самых сложных. Многие ученики видят его и пропускают. Оно действительно требует определённых знаний: признаки делимости, запись числа в виде суммы разрядных слагаемых, умение составлять уравнение и перебирать варианты. Но всё это — темы, которые проходят в 5–7 классах. Просто в этой задаче они собраны вместе.
Я разобрала его по шагам и постаралась объяснить максимально подробно. Если что-то останется непонятным — вы всегда можете перечитать нужный шаг ещё раз или задать вопрос в комментариях. Я помогу разобраться.
Давайте начнём.
Условие
Задумали чётное трёхзначное число, которое больше 700, делится на 23 и последняя цифра которого не равна 0. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 396. Какое число было задумано?
Решение
1. Обозначаем цифры числа и записываем его через разряды
Пусть задуманное трёхзначное число записывается цифрами a, b, c, где:
• a — цифра сотен,
• b — цифра десятков,
• c — цифра единиц.
Например, если число 874, то a = 8, b = 7, c = 4.
Любое трёхзначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых:
• сотни: a умножаем на 100 (потому что в одной сотне 100 единиц),
• десятки: b умножаем на 10,
• единицы: c умножаем на 1 (единицу можно опустить).
Например, 345 = 300 + 40 + 5, потому что 3 сотни = 3·100, 4 десятка = 4·10, 5 единиц = 5.
Так же и с буквами: задуманное число = 100·a + 10·b + c.
2. Записываем число, составленное из тех же цифр в обратном порядке
Если переставить цифры в обратном порядке, то первой цифрой (сотнями) станет последняя цифра c, второй (десятками) останется b, а последней (единицами) станет первая цифра a.
Обратное число = 100·c + 10·b + a.
3. Составляем уравнение и решаем его
По условию задачи из задуманного числа вычли число с обратным порядком цифр и получили 396.
(100·a + 10·b + c) − (100·c + 10·b + a) = 396.
Раскрываем скобки:
100·a + 10·b + c − 100·c − 10·b − a = 396.
10·b и −10·b сокращаются. Остаётся:
100·a − a + c − 100·c = 396.
100·a − a = 99·a,
c − 100·c = −99·c.
99·a − 99·c = 396
Выносим 99 за скобки:
99·(a − c) = 396
Делим обе части на 99:
a − c = 4
a = c + 4
Напомню: a — это первая цифра числа (сотни), c — последняя цифра (единицы). Получили, что разность между первой и последней цифрой равна 4. Это значит, что первая цифра на 4 больше последней.
4. Учитываем чётность и последнюю цифру
Так как число чётное, его последняя цифра c должна быть чётной: 0, 2, 4, 6, 8. Но последняя цифра не равна 0. Значит, c = 2, 4, 6 или 8.
Подставляем возможные значения c в формулу a = c + 4:
• c = 2 → a = 2 + 4 = 6.
• c = 4 → a = 4 + 4 = 8.
• c = 6 → a = 6 + 4 = 10. Не подходит, так как a — это цифра (от 1 до 9).
• c = 8 → a = 8 + 4 = 12. Тоже не подходит.
Остаются два варианта: a = 6, c = 2 или a = 8, c = 4.
5. Учитываем условие «больше 700»
Число больше 700, значит первая цифра a не может быть 6 (иначе число было бы от 600 до 699, то есть меньше 700). Первая цифра должна быть 7, 8 или 9.
• a = 6 — не подходит.
• a = 8 — подходит.
Остаётся a = 8, c = 4.
Теперь число имеет вид: 8b4, где b — цифра десятков (от 0 до 9).
Запишем число 8b4 в виде суммы разрядных слагаемых:
сотни: 8 сотен — это 8·100 = 800,
десятки: b десятков — это b·10,
единицы: 4 единицы — это 4.
Значит, число = 800 + 10·b + 4 = 804 + 10·b.
6. Учитываем условие делимости на 23
Число 804 + 10·b должно нацело делиться на 23.
Разделим 804 на 23 с остатком: 804 : 23 = 34 (ост. 22). Значит, 804 = 23·34 + 22.
Нам нужно, чтобы 804 + 10·b делилось на 23. Заменим 804 на 23·34 + 22. Получим: (23·34 + 22) + 10·b = 23·34 + (22 + 10·b). Чтобы это число делилось на 23, нужно, чтобы 22 + 10·b делилось на 23 (потому что 23·34 уже делится).
Перебираем b от 0 до 9 (b — цифра десятков):
• b = 0 → 22 + 0 = 22 — не делится на 23.
• b = 1 → 22 + 10 = 32 — не делится.
• b = 2 → 22 + 20 = 42 — не делится.
• b = 3 → 22 + 30 = 52 — не делится.
• b = 4 → 22 + 40 = 62 — не делится.
• b = 5 → 22 + 50 = 72 — не делится.
• b = 6 → 22 + 60 = 82 — не делится.
• b = 7 → 22 + 70 = 92 — делится на 23 (92 : 23 = 4). Подходит!
• b = 8 → 22 + 80 = 102 — не делится.
• b = 9 → 22 + 90 = 112 — не делится.
Подходит только b = 7.
7. Записываем задуманное число
a = 8, b = 7, c = 4 → число 874
8. Проверка
Чётное? 874 — чётное. ✓
Больше 700? 874 > 700. ✓
Делится на 23? 23·38 = 874. ✓
Последняя цифра не равна 0? 4 ≠ 0. ✓
Вычитаем число с обратным порядком цифр: обратное число к 874 — это 478. 874 − 478 = 396. ✓
Все условия выполнены.
Ответ: 874
Что дальше?
Теперь вы знаете, как решать задание 17 из ВПР. Этот алгоритм работает для многих задач с цифрами и делимостью. Главное — не бояться перебирать варианты и внимательно записывать условия.
Если остались вопросы — разберём их в комментариях. А если хотите разобрать другие задания из ВПР, пишите, какие. Успехов!