Часть 2 из цикла «Разбор задания №17: четырёхугольники»
Параллелограмм — одна из самых частых фигур в задании №17. В этой статье — только параллелограмм: его свойства, ловушки и свежие примеры из ОГЭ 2024–2025 годов.
Что такое параллелограмм?
Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Основные свойства (для ОГЭ)
Свойство 1. Противоположные стороны равны: AB = CD, BC = AD.
Свойство 2. Противоположные углы равны: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
Свойство 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°: ∠A + ∠B = 180°.
Свойство 4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам: AO = OC, BO = OD.
Свойство 5. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
Свойство 6. Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник. Если биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E, то AB = BE. Это свойство — ключ ко многим задачам.
Признаки параллелограмма
1. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны — это параллелограмм.
2. Если противоположные стороны попарно равны — это параллелограмм.
3. Если диагонали пересекаются и делятся пополам — это параллелограмм.
Типичные ловушки
Ловушка 1. «Диагонали параллелограмма равны» — неверно. Это свойство прямоугольника.
Ловушка 2. «Диагонали параллелограмма перпендикулярны» — неверно. Это свойство ромба.
Ловушка 3. «Все углы параллелограмма равны» — неверно. Равны только противоположные.
Свежие примеры из ОГЭ 2024–2025
Пример 1 (ОГЭ 2024, вариант 1).
В параллелограмме ABCD угол A = 48°. Найдите угол B.
Решение:
∠A + ∠B = 180° (свойство 3) → 48° + ∠B = 180° → ∠B = 132°.
Ответ: 132°.
Пример 2 (ОГЭ 2024, вариант 7).
В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. AO = 4 см. Найдите AC.
Решение:
Диагонали точкой пересечения делятся пополам (свойство 4): AO = OC = 4 см.
AC = AO + OC = 4 + 4 = 8 см.
Ответ: 8 см.
Пример 3 (ОГЭ 2025, досрочный период).
В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E. AB = 7 см, EC = 3 см. Найдите периметр параллелограмма.
Решение:
1. Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник: AB = BE = 7 см.
2. BC = BE + EC = 7 + 3 = 10 см.
3. Противоположные стороны равны: AD = BC = 10 см, CD = AB = 7 см.
4. Периметр = 2(7 + 10) = 217 = 34 см.
Ответ: 34 см.
Пример 4 (ОГЭ 2025, основной период).
В параллелограмме ABCD точка O — пересечение диагоналей. Периметр треугольника AOB равен 20 см, AB = 8 см. Найдите сумму длин диагоналей AC + BD.
Решение:
1. Диагонали делятся пополам: AO = OC, BO = OD.
2. Периметр ΔAOB = AB + AO + BO = 8 + AO + BO = 20 → AO + BO = 12 см.
3. AC + BD = 2AO + 2BO = 2(AO + BO) = 212 = 24 см.
Ответ: 24 см.
Пример 5 (ОГЭ 2025, резервный день).
В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла B, которая пересекает сторону AD в точке K. AB = 9 см, KD = 4 см. Найдите периметр параллелограмма.
Решение:
1. Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник ABK: AB = AK = 9 см.
2. AD = AK + KD = 9 + 4 = 13 см.
3. Противоположные стороны равны: BC = AD = 13 см, CD = AB = 9 см.
4. Периметр = 2(9 + 13) = 222 = 44 см.
Ответ: 44 см.
Выбор верных утверждений (ОГЭ 2025)
Условие: Укажите номера верных утверждений.
1. В любом параллелограмме противоположные стороны равны.
2. В любом параллелограмме диагонали равны.
3. В любом параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
Решение:
1. Верно (свойство 1).
2. Неверно (только у прямоугольника).
3. Верно (свойство 3).
Ответ: 1, 3.
Лайфхаки
Лайфхак 1. Увидели биссектрису в параллелограмме — сразу ищите равнобедренный треугольник.
Лайфхак 2. Точка пересечения диагоналей — всегда про половинки. AO = OC, BO = OD.
Лайфхак 3. Сумма углов при одной стороне = 180°. Это помогает найти любой угол, если известен соседний.
Лайфхак 4. В задании на выбор верных утверждений ищите контрпример. Для пункта «диагонали равны» достаточно любого неромбовидного параллелограмма.
Что дальше?
В следующей части разберём параллелограммы, вписанные в окружность, и задачи на доказательство.
Запомните главное: параллелограмм — это равные противоположные стороны, равные противоположные углы и диагонали, которые делятся пополам. Решайте свежие варианты, и задание №17 станет для вас простым. Удачи на ОГЭ 2026!