1. Дайте определение многоугольника, вершины, стороны, диагонали и периметра многоугольника. Запишите формулу суммы углов выпуклого многоугольника.
Определения
- Многоугольник — это геометрическая фигура, обычно ограниченная замкнутой ломаной линией, у которой звенья не пересекаются. Простыми словами: это плоская фигура, состоящая из отрезков, соединённых концами (образуя замкнутый контур).
- Вершины многоугольника — это точки, в которых соединяются два соседних отрезка (углы фигуры).
- Стороны многоугольника — это отрезки, из которых состоит многоугольник (звенья ломаной).
- Диагонали многоугольника — это отрезки, соединяющие любые две несоседние вершины (то есть вершины, не лежащие на одной стороне).
- Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Обозначается буквой P.
Примеры:
- Треугольник (n=3): 180⋅(3−2)=180°.
- Четырёхугольник (n=4): 180⋅(4−2)=360°.
- Пятиугольник (n=5): 180⋅(5−2)=540°.
2. Дайте определение и свойства параллелограмма.
Определение параллелограмма
Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (т.е. лежат на параллельных прямых).
Свойства параллелограмма
1. Свойства сторон и углов
- Противоположные стороны равны (AB=CD, BC=AD).
- Противоположные углы равны (∠A=∠C, ∠B=∠D).
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (односторонние углы при параллельных прямых): ∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180° и т.д.
2. Свойства диагоналей
Диагонали точкой пересечения делятся пополам. (AO=OC, BO=OD, где O — точка пересечения диагоналей AC и BD).
3. Свойство симметрии
Параллелограмм центрально-симметричен. Центр симметрии — точка пересечения его диагоналей.
4. Дополнительные свойства (вытекают из предыдущих)
- Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
- Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом (90°).
- Биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат на одной прямой.
5. Признаки параллелограмма (обратные свойства)
Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из условий:
- Две его противоположные стороны равны и параллельны.
- Противоположные стороны попарно равны.
- Противоположные углы попарно равны.
- Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
3. Дайте определение и назовите свойства прямоугольника.
Определение прямоугольника
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90°).
Иными словами: прямоугольник — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны (как у параллелограмма), а каждый угол — прямой.
Свойства прямоугольника
Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма (так как является его частным случаем), а также имеет уникальные свойства, связанные с прямыми углами и диагоналями.
1. Свойства, унаследованные от параллелограмма
- Противоположные стороны равны (AB=CD, BC=AD).
- Противоположные стороны параллельны (AB∥CD, BC∥AD).
- Противоположные углы равны (в прямоугольнике и так все углы равны).
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (выполняется автоматически, так как 90°+90°=180°).
- Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
2. Уникальные свойства прямоугольника (отличающие его от произвольного параллелограмма)
4. Формулы для прямоугольника
Пусть a и b — смежные стороны (длина и ширина).
5. Сравнение с параллелограммом (что добавилось?)
4. Дайте определение и назовите свойства ромба
Определение ромба
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Иными словами: ромб — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны (как у параллелограмма), а длина всех четырёх сторон одинакова.
Свойства ромба
Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма (так как является его частным случаем), а также имеет уникальные свойства, связанные с равными сторонами и диагоналями.
1. Свойства, унаследованные от параллелограмма
- Противоположные стороны равны (в ромбе и так все равны).
- Противоположные стороны параллельны.
- Противоположные углы равны.
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
- Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
- Центральная симметрия (относительно точки пересечения диагоналей).
2. Уникальные свойства ромба (отличающие его от произвольного параллелограмма)
3. Дополнительные свойства (следствия)
- Диагонали разбивают ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
- Высоты ромба, проведённые из разных вершин, равны между собой (так как стороны равны).
- Площадь ромба можно найти по формуле:
Признаки ромба (чем можно проверить, что фигура — ромб)
Параллелограмм является ромбом, если выполняется хотя бы одно из условий:
- Две его смежные стороны равны (тогда все стороны равны).
- Его диагонали взаимно перпендикулярны.
- Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.
- В него можно вписать окружность (для параллелограмма это возможно только в случае ромба).
Сравнение: прямоугольник vs ромб
Обе фигуры — частные случаи параллелограмма, но их свойства различаются:
Важно: Квадрат — это одновременно и прямоугольник (все углы прямые), и ромб (все стороны равны). Поэтому квадрат обладает всеми свойствами и той, и другой фигуры.
5. Дайте определение трапеции. Назовите виды трапеции.
Определение трапеции
Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
- Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
- Непараллельные стороны называются боковыми сторонами.
Виды трапеции
Трапеции классифицируются по двум признакам: по длине боковых сторон и по величине углов.
Дополнительные элементы трапеции (часто упоминаются в задачах)
- Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме:
- Высота трапеции — перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию (или его продолжению).
6. Дайте определение подобных треугольников. Назовите признаки подобия треугольников.
Обозначение
Определение подобных треугольников
Подобные треугольники — это треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого.
Коэффициент подобия (k) — это число, равное отношению сходственных сторон:
- Если k>1 — первый треугольник больше второго.
- Если k<1 — первый треугольник меньше второго.
- Если k=1 — треугольники равны (частный случай подобия).
Нахождение сходственных сторон
Сходственные стороны — это стороны, лежащие напротив равных углов:
- Напротив ∠A и ∠A₁ лежат стороны BC и B₁C₁.
- Напротив ∠B и ∠B₁ лежат стороны AC и A₁C₁.
- Напротив ∠C и ∠C₁ лежат стороны AB и A₁B₁.
Признаки подобия треугольников
Признаки подобия позволяют установить, что два треугольника подобны, не проверяя все углы и все стороны (достаточно трёх условий).
Важные следствия из подобия
- Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия:
- Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
- Отношение сходственных линейных элементов (высот, медиан, биссектрис, радиусов вписанных/описанных окружностей) также равно k.
7. Дайте определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (∠C=90°).
Рассмотрим острый угол, например ∠A
Стороны относительно угла A:
- BC — противолежащий катет (лежит напротив угла A).
- AC — прилежащий катет (образует угол A вместе с гипотенузой).
- AB — гипотенуза (самая длинная сторона, лежит напротив прямого угла C).
Определения
Также часто используют:
Для угла B (другого острого угла)
Если рассматривать угол B, то:
- Противолежащий катет — AC
- Прилежащий катет — BC
Важное соотношение (основное тригонометрическое тождество)
Для любого острого угла α прямоугольного треугольника:
8. Значение синуса, косинуса и тангенса угла 30, 45, 60 градусов.
9. Дайте определение секущей и касательной к окружности.
10. Дайте определение центрального и вписанного углов окружности.
11. Дайте определение окружности, вписанной в многоугольник,
многоугольника, описанного около окружности. Назовите свойство
описанного около окружности четырехугольника.
12. Дайте определение окружности, описанной около многоугольника,
многоугольника, вписанного в окружность. Назовите свойство
четырехугольника, вписанного в окружность.
13. Дайте определения: окружности, вписанной в треугольник; окружности,
описанной около треугольника, нахождение центров этих окружностей.
14. Сформулируйте и докажите свойства диагоналей ромба.
15. Сформулируйте теорему Фалеса.