Родился в СССР 28 октября 1976 года в селе Ивановка Ивановского района Амурской области. Детство провёл в селе Среднебелая Ивановского района. Поступил в Уссурийское суворовское военное училище и окончил его в 1993 году. Поступил в Сызранское высшее военное авиационное училище лётчиков. Осваивал технику армейской авиации. После окончания училища в 1998 году направлен в строевые части ВВС на должность лётчика-оператора. За время службы освоил вертолёты Ми-24, Ми-35М, Ми-8, Ми-28Н, Ка-52. Имел общий налёт 2250 часов и квалификацию «Военный лётчик-снайпер». В 2010 году окончил Военный учебно-научный центр ВВС Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина в городе Воронеж. Руководил лётной группой армейской авиации «Беркуты», с которой неоднократно принимал участие в воздушных Парадах Победы над Красной площадью в Москве. Участвовал в боевых действиях в Таджикистане, Чеченской Республике, Сирии. Являлся заместителем начальника Центра по войсковым испытаниям и лётно-методической работе 344-го Государственного центра боевого применения и переучивания лётного состава в городе Торжок. Награждён медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» 2 степени с мечами, медалью Нестерова, ведомственными медалями «За воинскую доблесть», «За укрепление боевого содружества», «За отличие в военной службе» всех трёх степеней, «Участнику военной операции в Сирии» и другими наградами и знаками.
С 24 февраля 2022 года полковник Клещенко в составе своего подразделения участвует в Специальной военной операции по защите Донецкой и Луганской народных республик. Командуя специальной боевой вертолётной группой организует поддержку наземных войск и выполнение специальных боевых заданий. Лично участвует в боевых вылетах. Действует нестандартно и эффективно, работает на результат. 15 апреля 2022 года Василий Петрович в качестве ведущего авиационной группы вылетел в ночной рейд по предотвращению передислокации бронетехники противника. Вертолеты действовали на сверхмалой высоте и уничтожили несколько единиц бронетехники врага. Противник применил ПЗРК по вертолёту В.П. Клещенко и подбил его. Катапультироваться не получилось и пилот погиб. Указом Президента Российской Федерации от 6 августа 2022 года за мужество и героизм, проявленные при исполнении воинского долга, полковнику Василию Петровичу Клещенко присвоено звание Героя Российской Федерации (посмертно).
Имя героя присвоено улице в Торжке и городской средней общеобразовательной школе №5. Установлена памятная доска в Торжке, а на аллее Героев Уссурийского суворовского военного училища открыт бюст полковника Клещенко. В селе Среднебелая Ивановского района Амурской области имя героя носит библиотека, а на школе, в которой он учился и на доме, в котором он жил, установлены памятные доски. В 2022 году В.П. Клещенко посвящена почтовая марка из серии «Герои Российской Федерации».