Начнём сразу с практических задач.
1. Возвести матрицу в степень
У нас есть матрица.
Как же найти это значение?
Есть несколько путей решения. Рассмотрим сначала стандартный.
1 способ
Заметим, что у всех элементов матрицы есть общий множитель 5. Вытащим его за скобки.
Мы знаем, что:
Пусть это будет матрица B.
Тогда:
Таким образом мы сведём количество операций к минимуму.
Рационально будет найти B^4.
Посчитаем количество операций.
4 операции, содержащие в себе по 8 умножений и 4 сложения, в ходе которых можно допустить уйму ошибок.
С виду казалось просто, но на деле...
Ответ представим в такой форме.
Технически, поставленную задачу мы выполнили, но это так громоздко и трудно...
2 способ
А теперь посчитаем другим способом. Пока не задавайте вопросов, просто посмотрите на решение.
Воспользуемся формулой муавра. Найдем необходимые значения
Определим длину радиус-вектора
В нашем случае
Найдем угол фи. Это первая четверть, поэтому воспользуемся такой формулой.
Наш угол фи:
Подставляем в формулу.
Записываем ответ.
Получилось та же матрица, что и в первом случае. Приблизительные вычисление мы произвели для проверки и наглядного доказательства, но ответ можно было оставить в первой форме с арктангенсами.
Посчитаем количество действий.
1 найти длину радиус-вектора
2 найти угол фи
3 подставить в формулу и ее переписать в виде ответа
Всего 2 вычисления! Возвести в квадрат два числа, сложить их. Ещё поделить друг на друга эти числа. Очень просто
В самом оптимизированном решении в лоб мы тратим многократно больше сил. А ведь мы рассмотрели ту задачу, которую стандартным методом решить можно.
В следующих статьях я покажу другие задачи связанные с таким свойством матриц, которые в лоб решить нельзя.
Так что же мы сделали?
Мы воспользовались свойством изоморфизма.
Если вы дочитали до этого места, вам наверное стало интересно как мы получили такое решение. Ниже я объясню что мы сделали и докажу правильность нашего решения.
Изоморфизм
Изоморфизм между комплексными числами и матрицами - это способ представить вещественные матрицы 2 × 2 как комплексные числа. При этом операции над числами абсолютно точно соответствуют матричным операциям.
Главная идея
Комплексному числу z = x + iy ставится в соответствие матрица вида:
где x, y ∈ R, а i — мнимая единица.
Почему это изоморфизм полей
Для этого рассмотрим операции над комплексными числами
1. Сложение
Оно работает покомпонентно и тут всё в целом очевидно
2. Умножение
Введём матрицу для мнимой единицы
z = 0 + i
Проверим её квадрат:
что в точности даёт i^2 = -1.
Любое комплексное число записывается как z = xЕ + yJ:
Перемножим два числа в матричной форме
Учитывая, что J^2 = -E, получим:
Это соответствует обычной формуле умножения комплексных чисел:
Значит умножение матриц точно воспроизводит умножение комплексных чисел.
3. Сопряжённое
Сопряжённое число x - yi представляется транспонированной матрицей:
Перемножим z и его сопряженное в алгебраическом виде.
Получим это равенство в матричном виде:
Перемножаем матрицы
Всё верно
4. Определитель
Определитель матрицы даёт квадрат радиус-вектора.
5. Обратная матрица
Выведем обратную матрицу из известного условия.
Пусть:
Запишем уравнение:
Перемножаем:
Получаем систему:
4 уравнения, 4 неизвестных. (x, y известны)
Нам необходимо выразить u v w t через x, y.
Из третьего:
Подставим в первое, u вынесем за скобки:
Приведем к общему знаменателю и поделим:
Тогда
Аналогично получаем остальные:
Подставляем найденные значения в формулу
Теперь получим тоже самое через алгебру.
Имеем
Домножим на сопряжённое числитель и знаменатель
(Знаем что если z умножить на его сопряженное получим |z|^2)
Получаем:
Всё верно!
И самое, на мой взгляд, интересное.
6. Умножение на i как поворот
Геометрический смысл соответствует повороту на 90 градусов.
В чём польза такого взгляда
1. Простота. Можно определить комплексные числа как семейство матриц с обычными матричными операциями, вообще не вводя символ i, равно как и наоборот.
2. Понятная геометрия. Сразу видно, что умножение комплексных чисел — это композиция поворота и масштабирования плоскости.
3. Связь с другими структурами. Везде, где встречается линейный оператор с квадратом равным -Е, возникает алгебра, изоморфная комплексным числам (например, в симплектической геометрии).
Итог
Множество таких матриц образует поле, изоморфное ℂ. Существует взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее сложение, умножение, ноль и единицу.
Таким способом можно определять корни из матриц, возводить их в любую степень, что обычными способами сделать довольно проблематично ( В следующих статьях я приведу разные способы решения. Необходимо использовать, например, Интерполяционный полином Лагранжа — Сильвестра).
P. S.
Это моя первая статья. Я очень постарался и потратил на неё около 5 часов. Оцените, если вам было интересно, пожалуйста. Напишите в каком формате лучше писать формулы. Темный или светлый фон.