Разберу функцию y=1,5sin(10x)+1,5sin(11x) подробно — с анализом свойств и способом построения графика.
Анализ отдельных компонентов
Функция состоит из двух синусоидальных слагаемых:
- y1=1,5sin(10x):
амплитуда: 1,5;
частота: 10;
период: T1=102π=5π. - y2=1,5sin(11x):
амплитуда: 1,5;
частота: 11;
период: T2=112π.
Преобразование суммы в произведение
Используем тригонометрическую формулу суммы синусов:
sinA+sinB=2sin(2A+B)cos(2A−B).
Применим её к нашей функции:
y=1,5[sin(10x)+sin(11x)]=1,5⋅2sin(210x+11x)cos(211x−10x)=3sin(221x)cos(2x)=3sin(10,5x)cos(0,5x).
Интерпретация результата:
- Высокочастотная несущая: sin(10,5x) с частотой 10,5 и периодом Tнесущ=10,52π=214π.
- Огибающая (модулирующая функция): cos(0,5x) с частотой 0,5 и периодом Tогиб=0,52π=4π.
Ключевые свойства функции
- Периодичность:
Основной период T — наименьшее общее кратное T1 и T2:T=НОК(5π,112π)=2π.
Проверка: y(x+2π)=y(x). - Амплитуда и биения:
Из‑за близких частот (10 и 11) возникает эффект биений — периодическое изменение амплитуды.
Период биений: Tбиений=∣11−10∣2π=2π.
Максимальная амплитуда: 3 (когда синусы синфазны).
Минимальная амплитуда: 0 (когда синусы в противофазе). - Область значений: E(y)=[−3;3].
- Чётность/нечётность:
y(−x)=1,5sin(−10x)+1,5sin(−11x)=−y(x) — функция нечётная, симметрична относительно начала координат. - Нули функции:
Очевидный нуль: x=0.
Другие нули находятся из условия sin(10,5x)cos(0,5x)=0, то есть:
sin(10,5x)=0⇒x=212kπ, k∈Z;
cos(0,5x)=0⇒x=(2k+1)π, k∈Z.
Как построить график
Шаг 1. Выберите диапазон x, например, [−2π;2π].
Шаг 2. Для каждого x вычислите:
y(x)=1,5sin(10x)+1,5sin(11x).
Шаг 3. Постройте точки (x,y(x)) и соедините их плавной линией.
Инструменты:
- Онлайн‑калькуляторы: Desmos, GeoGebra. Введите: 1.5*sin(10x) + 1.5*sin(11x).
- Python (с библиотеками NumPy и Matplotlib):
python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 1000)
y = 1.5 * np.sin(10 * x) + 1.5 * np.sin(11 * x)
plt.plot(x, y)
plt.title('График функции y = 1.5 sin(10x) + 1.5 sin(11x)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid()
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.show()
- Математические пакеты: Mathematica, MATLAB.
Особенности графика
- Биения: амплитуда колебаний плавно меняется от 0 до 3.
- Частота осцилляций: примерно 10,5 (среднее между 10 и 11).
- Период биений: 2π — за это время амплитуда проходит полный цикл от максимума до минимума и обратно.
- Симметрия: график симметричен относительно начала координат (y(−x)=−y(x)).
- Форма: высокочастотные колебания, «одетые» в медленно меняющуюся огибающую ±3cos(0,5x).
Физическая интерпретация
Такой сигнал моделирует:
- Акустику: биения при сложении двух звуковых волн близких частот (например, двух камертонов).
- Радиотехнику: амплитудную модуляцию (AM), где sin(10,5x) — несущая, а cos(0,5x) — модулирующий сигнал.
- Механику: колебания системы с двумя близкими собственными частотами.
Итог: функция y=1,5sin(10x)+1,5sin(11x) описывает сигнал с биениями — периодическим изменением амплитуды из‑за интерференции двух близких частот. Её период — 2π, область значений — [−3;3], а график демонстрирует характерные «пульсации» амплитуды.
Хотите, я уточню какой‑то аспект подробнее или помогу с расчётами для конкретных значений x?
