Николай Иванович Лобачевский совершил интеллектуальную революцию, практически не покинув стены Казанского университета, где прожил почти всю свою жизнь, сначала как студент, затем как профессор, а позже и как ректор. В 1826 году учёный выступил с докладом, который его современники не поняли и не приняли. Он предложил отказаться от пятого постулата Евклида — того самого, который гласит, что через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной. Две тысячи лет математики пытались доказать этот постулат, считая его не совсем очевидным, но всё же истинным. Лобачевский пошёл другим путём: он предположил, что параллельных можно провести бесконечно много, и построил новую, неевклидову геометрию, внутренне непротиворечивую, однако совершенно непохожую на привычный нам мир. Объявить, что геометрия, которую изучали две тысячи лет, не единственно возможная, а лишь частный случай более общей теории, — шаг, несомненно, необычайно смелый. Давайте же погрузимся в эту невероятную тему!
Основные принципы геометрии Лобачевского
Чтобы понять суть геометрии Лобачевского, нужно вспомнить, что такое параллельные прямые в евклидовой геометрии. Евклид определял их как прямые, которые лежат в одной плоскости и никогда не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. В геометрии Лобачевского всё иначе: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесконечное множество прямых, которые не пересекают данную. Часть из них будет расходиться с исходной прямой, а часть — сближаться, но никогда не пересекаться, асимптотически приближаясь к ней. Треугольники в мире Лобачевского устроены так, что сумма их углов всегда меньше 180 градусов, и чем меньше треугольник, тем ближе эта сумма к привычным 180, а чем больше — тем она меньше. Для огромных космических масштабов разница становится существенной. Кроме того, в геометрии Лобачевского не существует подобных фигур. Если два треугольника имеют равные углы, они обязательно равны и по сторонам, то есть масштабировать треугольник без изменения его формы невозможно. Ещё одно удивительное следствие: в этой геометрии существует максимальная площадь треугольника, которую нельзя превысить, как бы сильно вы ни увеличивали его стороны.
Мир Лобачевского искривлён — но не в привычном нам смысле, а внутренним образом, через изменение метрики пространства.
Как менялось отношение к наследию Лобачевского
Современники встретили идеи Лобачевского с недоумением, а порой и с открытой враждебностью. Его доклад на заседании физико-математического факультета Казанского университета не получил поддержки, а научное сообщество России и Европы не было готово принять мысль о том, что геометрия Евклида не абсолютна. Труды Лобачевского, опубликованные в «Казанском вестнике», долгие годы оставались незамеченными. Первым крупным европейским математиком, который по достоинству оценил открытие русского гения, был Карл Фридрих Гаусс. Однако Гаусс, опасаясь насмешек, не решился публично поддержать Лобачевского, хотя в частных письмах восхищался его смелостью и называл его «величайшим математическим умом России». Ситуация начала меняться только после смерти Лобачевского. В 1860-х годах итальянский математик Эудженио Бельтрами нашёл модель геометрии Лобачевского на поверхности псевдосферы, доказав тем самым её логическую состоятельность. С этого момента началось триумфальное шествие неевклидовой геометрии. К концу XIX века стало ясно: геометрия Лобачевского не причуда, а столь же стройное и непротиворечивое учение, как и геометрия Евклида. Сегодня имя Лобачевского стоит в одном ряду с величайшими математиками всех времён, а его геометрия изучается на всех математических факультетах мира.
Чем полезна геометрия Лобачевского в современной науке
Геометрия Лобачевского оказалась невероятно востребованной в современной науке. Прежде всего, сама идея о том, что пространство может быть искривлённым, подготовила почву для теории относительности Эйнштейна. Хотя Эйнштейн использовал аппарат римановой геометрии, а не геометрии Лобачевского, сам принцип неевклидова пространства целиком является её заслугой. Без Лобачевского переход от евклидовой интуиции к пониманию того, что Вселенная может быть искривлена, был бы куда более болезненным.
Геометрия Лобачевского естественным образом возникает в специальной теории относительности: пространство скоростей в этой теории устроено именно по Лобачевскому. В квантовой механике, в теории струн, в физике чёрных дыр появляются модели, использующие гиперболическую геометрию. За пределами физики геометрия Лобачевского помогает в криптографии: например, в создании систем шифрования, использующих гиперболические структуры. В топологии, в теории узлов, в динамических системах идеи Лобачевского работают как один из основных инструментов. Даже далёкая от науки область — цифровая графика — иногда использует гиперболическую геометрию для создания необычных визуальных эффектов и представления сложных данных.
Сегодня мы знаем, что геометрия Лобачевского — это равноправная часть математического знания, без которой нельзя представить современную науку. Её идеи пронизывают передовые области человеческого знания. И в этом, пожалуй, главный урок жизни и трудов Николая Ивановича Лобачевского: не бояться отказываться от очевидного, если этого требует логика. И необходимо всегда помнить, что истина иногда прячется там, где её никто не ищет.
На этом всё. Спасибо!
***
Меня зовут Анна, я репетитор по математике с 20-летним стажем. Помогаю с подготовкой к ЕГЭ, ОГЭ, помогаю с прохождением ДВИ.
Занимаюсь также и со взрослыми учениками — если хотите освежить в памяти математические знания, если математика вам нужна для работы/учёбы, или если вы хотите заняться математикой для себя, то обращайтесь ко мне в Максе!