{"draftJsState":{"blocks":[{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":0,"length":53,"offset":0}],"inlineStyleRanges":[{"length":53,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Как найти ОДЗ для корня, логарифма и других выражений","type":"unstyled","key":"9jlfs"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Иногда задача по алгебре выглядит решенной, но в ответ «проскочило» лишнее значение, и баллы за нее все равно снимают. Чтобы такого не происходило, в математике используют область допустимых значений, или ОДЗ. Разбираемся с этим простым и полезным инструментом.","type":"unstyled","key":"d8d6d"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Что такое ОДЗ","type":"header-two","key":"eh3bs"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":1,"length":3,"offset":447}],"inlineStyleRanges":[],"text":"ОДЗ (область допустимых значений) — это множество всех значений переменной, при которых выражение, уравнение или неравенство имеет смысл. Когда в алгебре вводят переменные, буквы начинают использоваться как обозначения чисел, которые могут принимать разные значения. Такие выражения называют выражениями с переменными. Их особенность в том, что результат вычисления заранее неизвестен и зависит от того, какое число будет подставлено вместо буквы [1].","type":"unstyled","key":"1fros"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Рассмотрим выражение вида a/ (a−5). Пока переменная a не получила конкретного значения, нельзя сказать, чему равно это выражение. Однако можно проверить, что произойдет при разных подстановках.","type":"unstyled","key":"8jitq"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Если взять, например, a = 1, получаем: 1/ (1−5) = 1/ (−4) — вычисление возможно. Если взять a = 8, получаем: 8/ (8−5) = 8/3 — тоже корректное числовое значение. Таким образом, при многих значениях переменной выражение существует и имеет смысл.","type":"unstyled","key":"1tlkd"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Но если подставить a = 5, ситуация меняется: 5/ (5−5) = 5/0. В знаменателе появляется ноль, а деление на ноль в математике не определено. Следовательно, при a = 5 выражение не имеет смысла.","type":"unstyled","key":"7jf9t"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Из этого делают важный вывод: выражение a/ (a−5) определено при любых значениях a, кроме 5. Именно это и называют областью допустимых значений.","type":"unstyled","key":"e9ioh"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Иногда выражения содержат не одну, а несколько переменных. Тогда результат зависит от каждой из них.","type":"unstyled","key":"6kkc5"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Рассмотрим выражение x − 5y. Его значение определяется тем, какие числа выбраны для x и для y. Если x = 8 и y = 1, получаем: 8 − 5·1 = 3. Если x = 0 и y = 1/5, получаем: 0 − 5· (1/5) = −1.","type":"unstyled","key":"7v6jp"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":2,"length":3,"offset":317}],"inlineStyleRanges":[],"text":"В подобных случаях удобно составлять таблицы, в которых по строкам и столбцам задаются значения разных переменных, а внутри указывается результат вычисления выражения. Такой способ позволяет увидеть, как меняется значение выражения при разных сочетаниях переменных и при каких подстановках вычисление вообще возможно [1].","type":"unstyled","key":"cvsi9"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Все приведенные примеры иллюстрируют одну и ту же идею: алгебраическое выражение всегда связано с определенным кругом допустимых подстановок.","type":"unstyled","key":"fcn4p"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":3,"length":3,"offset":332}],"inlineStyleRanges":[],"text":"Область допустимых значений — это формализованное описание этого круга. Она показывает, какие значения переменных разрешены, а какие должны быть исключены, потому что приводят к некорректным операциям или противоречат смыслу выражения. Именно поэтому работа с ОДЗ является обязательной частью анализа любого выражения с переменными [2].","type":"unstyled","key":"e5kh3"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Термин «область допустимых значений» сформировался сравнительно поздно — уже в рамках систематизированного школьного курса алгебры XIX—XX веков. Однако сама идея ограничения допустимых подстановок возникла значительно раньше, вместе с развитием аналитической математики.","type":"unstyled","key":"8pod"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"В XVII веке, во времена становления аналитической геометрии, математики стали связывать алгебраические выражения с геометрическими кривыми. Стало ясно, что не каждое алгебраическое выражение можно трактовать без уточнения условий. При переходе к координатному описанию кривых выяснилось, что некоторые формулы задают реальные точки только при определенных значениях переменной. Это требовало строгого анализа того, где выражение «существует» как число.","type":"unstyled","key":"eub6b"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":4,"length":3,"offset":203}],"inlineStyleRanges":[],"text":"Позднее, в XVIII—XIX веках, вместе с развитием теории функций и математического анализа, закрепилась идея рассматривать любую формулу не изолированно, а в паре с множеством допустимых значений аргумента [3]. Именно тогда сформировалось понятие области определения функции — более широкое и фундаментальное, чем школьное ОДЗ.","type":"unstyled","key":"2t5p5"},{"data":{"image":{"id":"69f8a5bcef8f6d0e7fb677a3"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"fotodrobik / Shutterstock / FOTODOM\uD83D\uDCF7Сегодня принцип ОДЗ используется далеко за пределами школы","type":"atomic:image","key":"5bud8"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Сегодня принцип ОДЗ используется далеко за пределами школы. Он лежит в основе построения графиков функций, применяется при создании математических моделей в физике и экономике, используется в инженерных расчетах и даже в программировании, когда необходимо ограничить допустимый диапазон входных данных.","type":"unstyled","key":"nbj8"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":6,"length":3,"offset":295},{"key":7,"length":3,"offset":300}],"inlineStyleRanges":[],"text":"Область допустимых значений требуется определять во всех случаях, когда в выражении используются операции, которые не определены для любых действительных чисел. Такие операции накладывают собственные ограничения на переменные, и эти ограничения необходимо учитывать еще до начала преобразований [1], [4].","type":"unstyled","key":"9ldoq"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Дроби. Как только переменная оказывается в знаменателе, появляется ограничение на ее возможные значения. Знаменатель не может принимать нулевое значение, иначе вычисление теряет смысл. Следовательно, все подстановки, при которых знаменатель становится равным нулю, не включаются в область допустимых значений, независимо от того, корректны ли остальные части выражения.","type":"unordered-list-item","key":"3efp8"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Корни четной степени. При работе с квадратными, четвертыми и другими четными корнями необходимо проверять выражение под знаком радикала. В действительных числах оно не может быть отрицательным. Если подкоренное выражение меньше нуля, результат перестает существовать.","type":"unordered-list-item","key":"ftsba"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Логарифмы. Логарифм накладывает сразу несколько условий. Значение, стоящее под знаком логарифма, должно быть больше нуля. Кроме того, основание логарифма обязано быть положительным и отличным от единицы. Нарушение любого из этих требований делает выражение недопустимым.","type":"unordered-list-item","key":"e80hk"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Степени с дробным или иррациональным показателем. Когда показатель степени не является целым числом, важно учитывать знак основания. Во многих случаях отрицательное основание приводит к невозможности получить действительный результат. Поэтому для таких выражений отдельно проверяют, при каких значениях переменной основание остается допустимым.","type":"unordered-list-item","key":"2gb7c"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Тригонометрические выражения с делением. Синус и косинус существуют при любых действительных значениях аргумента. Ограничения появляются тогда, когда эти функции входят в знаменатель или используются в виде дроби. В этом случае исключаются значения, при которых знаменатель обращается в ноль.","type":"unordered-list-item","key":"8lqfr"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Модуль внутри других операций. Сам по себе модуль не создаёт запретов. Однако если выражение с модулем стоит под корнем, в знаменателе или под логарифмом, оно начинает подчиняться ограничениям соответствующей операции. Тогда проверяется не только модуль, а вся конструкция целиком.","type":"unordered-list-item","key":"4cm62"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Комбинированные выражения. Если в формуле одновременно присутствуют несколько типов операций с ограничениями, все условия собираются вместе. Допустимыми считаются только те значения переменной, которые удовлетворяют каждому из них.","type":"unordered-list-item","key":"cf8h8"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Как найти ОДЗ","type":"header-two","key":"84lc8"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":8,"length":3,"offset":228},{"key":9,"length":3,"offset":233},{"key":10,"length":3,"offset":238}],"inlineStyleRanges":[],"text":"Поиск сводится к последовательному просмотру всех операций выражения. Каждая из них может накладывать собственные запреты на переменную. Задача состоит в том, чтобы выявить все такие запреты и объединить их в одно общее условие [1], [2], [4].","type":"unstyled","key":"etgk"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Для дробей","type":"header-three","key":"a88cj"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Если в выражении есть дробь, первым делом внимание направляют на знаменатель. Деление на ноль не определено, поэтому любые значения переменной, превращающие знаменатель в ноль, сразу исключаются.","type":"unstyled","key":"dsjb6"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Практически это означает следующее: знаменатель выписывают отдельно, приравнивают к нулю, находят соответствующие значения переменной и записывают, что эти значения не входят в ОДЗ.","type":"unstyled","key":"b337j"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Пример: (5x+1)/ (x-4)","type":"unstyled","key":"356f8"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Знаменатель равен x-4.","type":"unstyled","key":"fl5vs"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"При x-4 = 0 получаем x = 4.","type":"unstyled","key":"1pj1v"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"ОДЗ: все действительные x, кроме 4.","type":"unstyled","key":"eigo2"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"В записи: x ≠ 4.","type":"unstyled","key":"e4pq8"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Для корней четной степени","type":"header-three","key":"akv7t"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Корни четной степени в действительных числах существуют только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно. Поэтому здесь всегда проверяют именно то, что стоит под знаком корня.","type":"unstyled","key":"a3it1"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Подкоренное выражение приравнивают к неравенству вида ≥ 0, решают его и получают диапазон допустимых значений.","type":"unstyled","key":"dsf9n"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Пример: √ (2x-6)","type":"unstyled","key":"7lcts"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Требование: 2x-6 ≥ 0.\n Отсюда x ≥ 3.","type":"unstyled","key":"2ginb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"ОДЗ: x ≥ 3.","type":"unstyled","key":"cnlot"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Если корень стоит в знаменателе, добавляется еще одно условие: подкоренное выражение должно быть строго больше нуля, чтобы знаменатель не обращался в ноль.","type":"unstyled","key":"fo2g0"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Для логарифмов","type":"header-three","key":"9n3al"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Логарифм накладывает сразу два условия:","type":"unstyled","key":"1tmlo"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"выражение под знаком логарифма должно быть положительным;","type":"unordered-list-item","key":"bo75k"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"основание логарифма должно быть положительным и не равным единице.","type":"unordered-list-item","key":"289t"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"При поиске ОДЗ отдельно составляют условия для аргумента и для основания, после чего объединяют их.","type":"unstyled","key":"3ogj1"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Пример: log_ (x-3) (x+1)","type":"unstyled","key":"33on6"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Сначала аргумент: x+1 > 0 → x > -1.\n Теперь основание: x-3 > 0 → x > 3.\n Также x-3 ≠ 1 → x ≠ 4.","type":"unstyled","key":"557nu"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Совмещаем условия: x > 3 и x ≠ 4.","type":"unstyled","key":"7ksde"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"ОДЗ: x > 3, x ≠ 4.","type":"unstyled","key":"32q5g"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Для тригонометрических функций","type":"header-three","key":"4cofu"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Синус и косинус определены при любых действительных значениях переменной. Ограничения появляются тогда, когда тригонометрическая функция оказывается в знаменателе или используется в форме дроби.","type":"unstyled","key":"7bqgk"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"В таких случаях находят, при каких значениях соответствующий знаменатель равен нулю, и исключают эти точки.","type":"unstyled","key":"7f514"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Пример: 1/sin x","type":"unstyled","key":"d898"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Знаменатель sin x не должен быть равен нулю.","type":"unstyled","key":"ds56p"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"sin x = 0 при x = πk, где k — целое число.","type":"unstyled","key":"ffpts"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"ОДЗ: все действительные x, кроме x = πk.","type":"unstyled","key":"f94lm"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Для модуля","type":"header-three","key":"fm2h4"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Сам по себе модуль определен для любых действительных чисел. Поэтому отдельно искать ОДЗ для |x| не требуется. Ограничения появляются только тогда, когда модуль входит в состав других операций: стоит под корнем, в знаменателе или под логарифмом.","type":"unstyled","key":"4ld0k"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Пример: √|x-5|","type":"unstyled","key":"ftt9s"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Требование корня: |x-5| ≥ 0.","type":"unstyled","key":"cvia2"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Это неравенство выполняется при любых x.","type":"unstyled","key":"81v8r"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"ОДЗ: все действительные числа.","type":"unstyled","key":"934or"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Другой пример: 1/|x-5|","type":"unstyled","key":"27uh0"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Знаменатель не равен нулю → |x-5| ≠ 0 → x ≠ 5.","type":"unstyled","key":"9tboi"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"ОДЗ: x ≠ 5.","type":"unstyled","key":"br91q"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Для показательных выражений","type":"header-three","key":"2vk54"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Если показатель степени — целое число, ограничений обычно не возникает. Сложности появляются, когда показатель дробный или иррациональный. В таких случаях основание степени должно быть неотрицательным, а иногда — строго положительным.","type":"unstyled","key":"d7t22"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Пример: (x+2) ^ (1/2)","type":"unstyled","key":"2k3pn"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Это квадратный корень из x+2.","type":"unstyled","key":"3gsf3"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Требование: x+2 ≥ 0 → x ≥ -2.","type":"unstyled","key":"cdkj3"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"ОДЗ: x ≥ -2.","type":"unstyled","key":"5fkfl"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Во всех выражениях с несколькими операциями ограничения собирают от каждой части и объединяют. Итоговая область допустимых значений — это те значения переменной, которые удовлетворяют всем условиям одновременно.","type":"unstyled","key":"51vsf"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Задачи на определение ОДЗ","type":"header-two","key":"evfo7"},{"data":{"image":{"id":"69f8a5bcef8f6d0e7fb677a4"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Aree_S / Shutterstock / FOTODOM\uD83D\uDCF7ОДЗ — это перечень значений переменных, при которых выражение существует как число.","type":"atomic:image","key":"a9e3j"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":12,"length":3,"offset":341},{"key":13,"length":3,"offset":346},{"key":14,"length":3,"offset":351}],"inlineStyleRanges":[],"text":"ОДЗ тренируется лучше всего на выражениях, где ограничения накладывают разные операции одновременно. В каждой задаче цель одна: выписать все запреты и условия существования выражения в действительных числах и объединить их. Старайтесь сразу фиксировать ограничения в виде системы, а затем записывать итоговую область как пересечение условий [1], [2], [4].","type":"unstyled","key":"1u4ss"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"1. Найдите ОДЗ в выражении (2x-5)/√ (7-x)","type":"header-three","key":"c9133"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Сначала смотрим на знаменатель, потому что именно он чаще всего создает запреты. Внизу стоит корень. Это означает два требования: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, и сам знаменатель не может быть равен нулю.","type":"unstyled","key":"35s57"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Записываем: 7-x ≥ 0 и одновременно 7-x ≠ 0. Эти два условия вместе дают одно более жесткое: 7-x > 0.","type":"unstyled","key":"fno7u"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Отсюда x < 7. Ответ (ОДЗ): x < 7.","type":"unstyled","key":"6av89"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"2. Определите ОДЗ для выражения log (x+2) (x^2-4x)","type":"header-three","key":"63up9"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"У логарифма всегда проверяются две части — то, что стоит под знаком логарифма, и то, что стоит внизу в качестве основания. Сначала аргумент: x^2-4x должен быть больше нуля. Выносим x за скобку: x (x-4) > 0. Такое произведение положительно, если оба множителя одного знака, значит x < 0 или x > 4.","type":"unstyled","key":"e064t"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Теперь основание: x+2 должно быть положительным, то есть x > -2. Кроме того, основание не может быть равно 1, поэтому x ≠ -1.","type":"unstyled","key":"8p2hm"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Объединяем все вместе. Из промежутка x < 0 остается только -2 < x < 0, но без точки -1. Вся часть x > 4 подходит целиком.","type":"unstyled","key":"jpk8"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Ответ (ОДЗ): (-2 < x < -1) или (-1 < x < 0) или (x > 4).","type":"unstyled","key":"7f093"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"3. Найдите область допустимых значений выражения √ (3x+1)/ (x^2-1)","type":"header-three","key":"1livq"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Ограничения появляются сразу в двух местах:","type":"unstyled","key":"4kp22"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Под корнем стоит выражение 3x+1, оно не может быть отрицательным. Получаем 3x+1 ≥ 0, то есть x ≥ -1/3.","type":"unordered-list-item","key":"dmkvb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Знаменатель не должен обращаться в ноль: x^2-1 ≠ 0. Это происходит при x = 1 и x = -1.","type":"unordered-list-item","key":"40pln"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Так как мы уже знаем, что x ≥ -1/3, значение -1 автоматически не попадает в допустимые. Остается запрет только на x = 1.","type":"unstyled","key":"4ck15"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Ответ (ОДЗ): x ≥ -1/3, x ≠ 1.","type":"unstyled","key":"enmdj"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"4. Определите ОДЗ для выражения √ (5|x-2|)","type":"header-three","key":"1jga7"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Под корнем должно получаться число не меньше нуля. Значит 5|x-2| ≥ 0.","type":"unordered-list-item","key":"egq9e"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Переносим модуль: |x-2| ≤ 5. Это означает, что расстояние от x до числа 2 не превышает 5.","type":"unordered-list-item","key":"blifs"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Записываем двойное неравенство: -5 ≤ x-2 ≤ 5.","type":"unordered-list-item","key":"bphht"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Прибавляем 2 ко всем частям и получаем -3 ≤ x ≤ 7.","type":"unordered-list-item","key":"26cdm"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Ответ (ОДЗ): -3 ≤ x ≤ 7.","type":"unstyled","key":"6se4p"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"5. Найдите ОДЗ в выражении (x-1) ^ (1/3) * log (4-x)","type":"header-three","key":"4425u"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Выражение состоит из произведения, поэтому проверяем каждый множитель отдельно.","type":"unstyled","key":"c1hlh"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Степень 1/3 — это кубический корень. Он существует при любых действительных значениях x, ограничений здесь нет.","type":"unordered-list-item","key":"4kfab"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Логарифм требует, чтобы аргумент был положительным: 4-x > 0. Отсюда x < 4. Других условий нет.","type":"unordered-list-item","key":"drioq"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Ответ (ОДЗ): x < 4.","type":"unstyled","key":"7vod5"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Частые вопросы","type":"header-two","key":"g4mt"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Работа с ОДЗ является обязательной частью анализа любого выражения с переменными. Однако вокруг этого понятия всегда возникают дополнительные вопросы.","type":"unstyled","key":"e7e0b"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Всегда ли нужно находить ОДЗ перед решением уравнения или неравенства?","type":"header-three","key":"2hht"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":15,"length":3,"offset":280},{"key":16,"length":3,"offset":285}],"inlineStyleRanges":[],"text":"Если выражение содержит операции с ограничениями — дроби, корни четной степени, логарифмы, степени с дробным показателем, — область допустимых значений должна быть определена обязательно. Эти элементы задают условия существования выражения независимо от дальнейших преобразований [1], [2].","type":"unstyled","key":"b1tpm"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Допустим и другой порядок: сначала решить уравнение, затем проверить найденные значения на принадлежность ОДЗ. Однако в этом случае возрастает риск оставить в ответе посторонние решения. Любое значение, при котором исходное выражение не определено, должно быть исключено, даже если оно удовлетворяет преобразованной форме уравнения.","type":"unstyled","key":"sjd5"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Как ОДЗ помогает избежать ошибок в сложных уравнениях?","type":"header-three","key":"3cgn8"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"В задачах с несколькими операциями часто выполняют действия, меняющие структуру выражения: раскрывают дроби, возводят в степень, избавляются от корней. Такие шаги могут расширить множество решений и привести к появлению лишних корней.","type":"unstyled","key":"acn6l"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":17,"length":3,"offset":216},{"key":18,"length":3,"offset":221}],"inlineStyleRanges":[],"text":"ОДЗ позволяет проверить корректность результата. Если найденное значение нарушает исходные ограничения — например, обращает знаменатель в ноль или делает аргумент логарифма отрицательным, — оно не может быть ответом [1], [2].","type":"unstyled","key":"41nlj"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Главное об ОДЗ","type":"header-two","key":"51hkb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"ОДЗ — это перечень значений переменных, при которых выражение существует как число. Все, что приводит к делению на ноль, отрицательному подкоренному выражению или недопустимому логарифму, из этой области исключается.","type":"unordered-list-item","key":"ce4f5"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"ОДЗ всегда связано с конкретными операциями внутри выражения. Ограничения появляются не «потому что так принято», а из-за свойств дробей, корней, логарифмов, степеней и тригонометрических функций.","type":"unordered-list-item","key":"1o8mb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Если в выражении несколько операций с ограничениями, учитываются все сразу. Допустимыми считаются только те значения, которые удовлетворяют каждому условию одновременно.","type":"unordered-list-item","key":"6gfdp"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"ОДЗ помогает заранее увидеть, где решение невозможно. Это экономит время и избавляет от работы с заведомо недопустимыми подстановками.","type":"unordered-list-item","key":"3gcni"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Любой найденный корень уравнения нужно сверять с ОДЗ. Значение, не входящее в область допустимых значений, не может быть частью ответа, даже если формально удовлетворяет преобразованному уравнению.","type":"unordered-list-item","key":"55b40"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"При нескольких ограничениях итоговая ОДЗ находится как пересечение всех условий.","type":"unordered-list-item","key":"dokpv"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Любое найденное решение уравнения или неравенства должно принадлежать ОДЗ, иначе оно не является допустимым.","type":"unordered-list-item","key":"c4m6c"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":19,"length":8,"offset":69},{"key":20,"length":10,"offset":79},{"key":21,"length":5,"offset":91},{"key":22,"length":10,"offset":98},{"key":23,"length":7,"offset":129},{"key":24,"length":3,"offset":141}],"inlineStyleRanges":[{"length":67,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Нравится РБК? Главные новости дня, эксклюзивы и аналитика ждут вас: \nна радио \nв подписке \nв Max \nв Telegram \n в приложениях для Android или iOS","type":"blockquote","key":"8jokp"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":14,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Читайте также:","type":"unstyled","key":"5e7hg"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[{"key":25,"length":40,"offset":0},{"key":26,"length":62,"offset":42},{"key":27,"length":33,"offset":106}],"inlineStyleRanges":[],"text":"Новым командующим ВКС стал генерал Чайко \nВ Финляндии объяснили, почему не сбили БПЛА у границ с Россией \nПутин назначил нового шерпу в G20","type":"unstyled","key":"73h6j"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"marker","key":"PT46Xluy0jL4wNXB4PmT"}],"entityMap":{"22":{"data":{"href":"https://t.me/+mG9DsFxztYY3NzIy","url":"https://t.me/+mG9DsFxztYY3NzIy"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"23":{"data":{"href":"https://play.google.com/store/apps/details?id=ru.rbc.news.starter","url":"https://play.google.com/store/apps/details?id=ru.rbc.news.starter"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"24":{"data":{"href":"https://apps.apple.com/ru/app/%D1%80%D0%B1%D0%BA-%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8/id483524731","url":"https://apps.apple.com/ru/app/%D1%80%D0%B1%D0%BA-%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8/id483524731"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"25":{"data":{"href":"https://www.rbc.ru/politics/04/05/2026/69f868af9a7947dd750ab765?utm_source=dzen.ru&utm_medium=suggest_widget","url":"https://www.rbc.ru/politics/04/05/2026/69f868af9a7947dd750ab765?utm_source=dzen.ru&utm_medium=suggest_widget"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"26":{"data":{"href":"https://www.rbc.ru/politics/04/05/2026/69f8a7149a794750adebcbaf?utm_source=dzen.ru&utm_medium=suggest_widget","url":"https://www.rbc.ru/politics/04/05/2026/69f8a7149a794750adebcbaf?utm_source=dzen.ru&utm_medium=suggest_widget"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"27":{"data":{"href":"https://www.rbc.ru/politics/04/05/2026/69f881379a79476810316fe9?utm_source=dzen.ru&utm_medium=suggest_widget","url":"https://www.rbc.ru/politics/04/05/2026/69f881379a79476810316fe9?utm_source=dzen.ru&utm_medium=suggest_widget"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"10":{"data":{"href":"https://djvu.online/file/9pBJZxptWpM5T","url":"https://djvu.online/file/9pBJZxptWpM5T"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"12":{"data":{"href":"https://djvu.online/file/qoJuT5NFy4Ytj","url":"https://djvu.online/file/qoJuT5NFy4Ytj"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"13":{"data":{"href":"https://djvu.online/file/03wzARiEWrEJ4","url":"https://djvu.online/file/03wzARiEWrEJ4"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"14":{"data":{"href":"https://djvu.online/file/9pBJZxptWpM5T","url":"https://djvu.online/file/9pBJZxptWpM5T"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"15":{"data":{"href":"https://djvu.online/file/qoJuT5NFy4Ytj","url":"https://djvu.online/file/qoJuT5NFy4Ytj"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"16":{"data":{"href":"https://djvu.online/file/03wzARiEWrEJ4","url":"https://djvu.online/file/03wzARiEWrEJ4"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"17":{"data":{"href":"https://djvu.online/file/qoJuT5NFy4Ytj","url":"https://djvu.online/file/qoJuT5NFy4Ytj"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"18":{"data":{"href":"https://djvu.online/file/03wzARiEWrEJ4","url":"https://djvu.online/file/03wzARiEWrEJ4"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"19":{"data":{"href":"https://www.rbc.ru/story/radio/?utm_source=dzen.ru&utm_medium=partner&utm_campaign=link_widget","url":"https://www.rbc.ru/story/radio/?utm_source=dzen.ru&utm_medium=partner&utm_campaign=link_widget"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"0":{"data":{"href":"https://www.rbc.ru/life/news/69f063939a7947008aab2a52?utm_source=dzen.ru&utm_medium=lead_experiment","url":"https://www.rbc.ru/life/news/69f063939a7947008aab2a52?utm_source=dzen.ru&utm_medium=lead_experiment"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"1":{"data":{"href":"https://djvu.online/file/qoJuT5NFy4Ytj","url":"https://djvu.online/file/qoJuT5NFy4Ytj"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"2":{"data":{"href":"https://djvu.online/file/qoJuT5NFy4Ytj","url":"https://djvu.online/file/qoJuT5NFy4Ytj"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"3":{"data":{"href":"https://djvu.online/file/03wzARiEWrEJ4","url":"https://djvu.online/file/03wzARiEWrEJ4"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"4":{"data":{"href":"https://djvu.online/file/ecucu89BhdyK0","url":"https://djvu.online/file/ecucu89BhdyK0"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"6":{"data":{"href":"https://djvu.online/file/qoJuT5NFy4Ytj","url":"https://djvu.online/file/qoJuT5NFy4Ytj"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"7":{"data":{"href":"https://djvu.online/file/9pBJZxptWpM5T","url":"https://djvu.online/file/9pBJZxptWpM5T"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"8":{"data":{"href":"https://djvu.online/file/qoJuT5NFy4Ytj","url":"https://djvu.online/file/qoJuT5NFy4Ytj"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"9":{"data":{"href":"https://djvu.online/file/03wzARiEWrEJ4","url":"https://djvu.online/file/03wzARiEWrEJ4"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"20":{"data":{"href":"https://pro.rbc.ru/?utm_source=dzen.ru&utm_medium=partner&utm_campaign=link_widget","url":"https://pro.rbc.ru/?utm_source=dzen.ru&utm_medium=partner&utm_campaign=link_widget"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"},"21":{"data":{"href":"https://max.ru/rbc","url":"https://max.ru/rbc"},"mutability":"MUTABLE","type":"LINK"}}},"mentions":[]}