Москва, 1934 год. Аудитория Московского государственного университета. 25-летний Лев Семёнович Понтрягин диктует ассистенту результат, который топологи не могли получить в полной мере со времён Пуанкаре. Он стоит перед доской, которую не видит. Он не видит ни доски, ни мела, ни одной из своих формул. Зрение Понтрягин потерял за двенадцать лет до этого момента. И тем не менее именно он только что закрыл задачу, в которую упирались лучшие топологи мира.
Топология - наука о форме и непрерывных преобразованиях пространства - требует зрительной интуиции. Топологи рисуют, чертят - основной их инструмент - зрение. Пуанкаре строил свою теорию двойственности, опираясь на геометрические образы, Соломон Лефшец в 1920-е продвинул её дальше, но общий случай ему не давался. Слепой математик нашёл выход там, где зрячие коллеги заходили в тупик. Почему - объяснение будет позже. Сначала - факты.
В 1922 году Лёве Понтрягину тринадцать лет. Послереволюционная Москва - холодная, полуголодная. В доме сломался примус. Отец взялся чинить его сам. Прибор взорвался. Мальчику обожгло лицо и глаза. Врачи делали что могли, но зрение сохранить не удалось.
Отец, потрясённый случившимся, вскоре тяжело заболел и через несколько лет умер. Мать, Татьяна Андреевна Понтрягина, не имела математического образования - до этого дня она не открывала учебников геометрии. После случившегося она читала сыну вслух каждый день - по-русски, по-немецки, по-французски, по-английски. Научные статьи, монографии, задачники. Она стала его глазами - не метафорически, а буквально: единственным инструментом, через который математические тексты попадали к Понтрягину. Лев запоминал, обдумывал, решал в уме.
В 1925 году, в семнадцать лет, Понтрягин поступил на физико-математический факультет МГУ. Математическая Москва 1920-х кипела. Дмитрий Фёдорович Егоров читал курсы по анализу, Павел Сергеевич Александров вёл топологию. Александров только что вернулся из Гёттингена, где работал с Гильбертом, и привёз в Москву частичку европейской математики - в том числе задачи, которые оставались открытыми.
Студент Понтрягин попал на семинар Александрова на втором курсе. Александров впоследствии вспоминал, что Понтрягин поначалу не выделялся ничем, кроме настойчивости. Но уже в 1929 году, в двадцать один год, Понтрягин окончил МГУ и немедленно поступил в аспирантуру - к тому же Александрову. Он приходил на занятия без конспектов. Всё держал в голове.
Топология к 1929 году - это наука без устоявшегося языка. Если алгебра к тому времени уже говорила строгими символами, а анализ - эпсилонами и дельтами, то топология оставалась картой без координатной сетки. Её предмет - свойства фигур, которые не меняются при непрерывных деформациях: кофейная кружка и бублик в топологии одно и то же, потому что одну можно плавно превратить в другую, не разрывая и не склеивая.
Пуанкаре в 1895–1904 годах заложил фундамент алгебраической топологии: он предложил описывать форму пространства через алгебраические объекты - гомологии (формальные суммы циклов, отражающие «дыры» разных размерностей в пространстве). Он же сформулировал теорему двойственности: между гомологиями разных размерностей замкнутого многообразия существует симметрия.
Но Пуанкаре доказал это для узкого класса объектов, опираясь на наглядную геометрию триангуляций. Лефшец в 1920-е расширил результат, введя когомологии - двойников гомологий, - но теория по-прежнему не работала в полную силу для топологических групп в общем случае. Каждый новый шаг требовал визуализации, которую зрячие математики строили интуитивно.
Понтрягин обошёл наметившийся тупик. Он не пытался нарисовать то, что видели другие, - он не умел рисовать вообще. Вместо геометрической интуиции он взял алгебру и довёл её применения до совершенства. Его инструментом стала теория характеров топологических групп: каждой локально компактной абелевой группе - классу алгебраических структур, объединяющих в себе алгебру и топологию одновременно, - он сопоставил двойственную группу характеров, и показал, что эта операция обратима.
Это и есть двойственность Понтрягина, сформулированная и доказанная в 1934 году. Она говорит: у каждой такой группы есть алгебраическое зеркало, и если посмотреть в зеркало дважды, вернёшься к исходнику. Результат немедленно вошёл в основание гармонического анализа - раздела математики, изучающего разложение функций в волны, и открыл инструменты, которые впоследствии нашли применение в теории чисел и физике.
Зрячие коллеги работали с образами и спотыкались о частные случаи. Понтрягин работал с формулами и получил общий результат.
В 1939 году Понтрягин перешёл в Математический институт имени В. А. Стеклова АН СССР - главное математическое учреждение страны. В 1941-м получил Сталинскую премию. В том же году институт частично эвакуировали, но работа не прекращалась. Эти годы Понтрягин провёл в топологии - развивал теорию кобордизмов, вводил классы Понтрягина, инварианты дифференциальных многообразий, которые сегодня используются в теоретической физике.
Конец 1950-х изменил всё. Началась космическая гонка. Ракета - это не просто двигатель и корпус, это задача управления: как перевести аппарат из точки A в точку B с минимальным расходом топлива, за минимальное время, при ограниченных возможностях тяги двигателей. Инженеры обратились к математикам. Математики обратились к вариационному исчислению - разделу анализа, возникшему ещё у Лейбница и Эйлера и описывающему, как найти функцию, минимизирующую некоторый функционал, то есть «функцию от функции».
Классический вариант - уравнения Эйлера–Лагранжа - работал хорошо, пока управляющий параметр мог принимать любые значения. Но у ракетного двигателя тяга ограничена: нельзя включить двигатель на 150 процентов мощности. Классические уравнения на такие случаи ответа не давали. Понтрягин взялся за задачу вместе с тремя учениками - Владимиром Григорьевичем Болтянским, Ревазом Валерьяновичем Гамкрелидзе и Евгением Филипповичем Мищенко. Они работали над проблемой несколько лет.
Результатом стал принцип максимума Понтрягина, сформулированный в конце 1950-х и полностью изложенный в монографии «Математическая теория оптимальных процессов» в 1961 году. Принцип говорит следующее: если вы управляете динамической системой оптимально - то в каждый момент времени управляющий параметр должен максимизировать специальную вспомогательную функцию, называемую гамильтонианом. Это необходимое условие оптимальности.
Применительно к ракете - если топливо - ограниченный ресурс, и при этом необходимо достичь заданную орбиту с минимальными затратами, принцип указывает, когда нужно включать двигатель на полную мощность, а когда выключать полностью. Оказывается, оптимальное решение в таких задачах часто выглядит именно так: не плавная регулировка, а переключение между крайними режимами. Это контринтуитивно - и именно поэтому классический аппарат Эйлера–Лагранжа не подходил для этой задачи.
Монографию немедленно перевели на английский, немецкий и французский языки. Она стала одной из наиболее цитируемых математических книг XX века. Американские инженеры читали её так же внимательно, как советские.
Сегодня принцип максимума Понтрягина встроен в математику управления как базовый инструмент. Траектории межпланетных зондов рассчитываются с его участием. Промышленные роботы, которым нужно переместить деталь за минимальное время, не сломав привод, каждый раз решают задачу Понтрягина. Химические реакторы, где температурный режим нужно провести оптимально, - тоже. Экономисты используют его в задачах оптимального роста. Принцип пережил эпоху, в которой был создан, и вошёл в стандартный курс прикладной математики по всему миру.
Понтрягин умер 3 мая 1988 года в Москве. Ему было 79 лет. За шесть десятилетий работы он не увидел ни одной из своих формул - ни на доске, ни на бумаге. Держал в памяти, оперировал ими в уме. Топология, которую он строил, - наука о форме и пространстве - обходилась без его зрения.
Инструмент, придуманный потому, что иначе работать не получалось, в итоге управляет ракетами и в наши дни.
Подпишитесь на канал, чтобы не пропустить новые интересные истории. Если статья понравилась - можно поставить лайк - автору будет приятно.
Можно почитать:
- «Союз-5»: новое слово в ракетостроении или наследие СССР?
- Ан-225: можно ли повторить Мечту?
- Зачем СССР взорвал первый в мире атомный ледокол "Ленин".