Что такое НОД и НОК?
НОД — Наибольший общий делитель двух или более чисел — это наибольшее натуральное число, на которое все исходные числа делятся без остатка.
НОК — Наименьшее общее кратное двух или более чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка.
Наибольший общий делитель (НОД)
Обозначение
НОД чисел a и b обозначается как НОД (a, b). Например, НОД(12, 18) = 6.
Способы нахождения НОД
Разложение на простые множители
- Разложить каждое число на простые множители.
- Выписать общие множители в наименьших степенях.
- Перемножить их.
Пример:
Найти НОД(84, 90).
- Общие множители: 2 и 3 в наименьших степенях 2^1 и 3^1.
- НОД(84, 90) = 2 *3 = 6
Наименьшее общее кратное (НОК)
Обозначение
НОК чисел a и b обозначается как НОК(a, b). Например, НОК(4, 6) = 12.
Способы нахождения НОК
Разложение на простые множители
- Разложить каждое число на простые множители.
- Выписать все множители, входящие хотя бы в одно из разложений, в наибольших степенях.
- Перемножить их.
Пример:
Найти НОК(84, 90).
Берём множители в наибольших степенях: 2^2, 3^2, 5, 7.
НОК(84, 90) = 2^2 *3^2 *5 *7 = 4 * 9 * 5 * 7 = 1260.
Зачем нужны НОД и НОК? (Применение)
- Приведение дробей к общему знаменателю.
Общий знаменатель дробей
- Сокращение дробей.
- Решение задач.
Задача на НОД: Имеется 48 конфет и 36 пряников. Какое наибольшее число одинаковых подарков можно из них составить?
Ответ: НОД(48, 36) = 12 подарков.
Задача на НОК: Автобусы по разным маршрутам прибывают на станцию каждые 10 и 15 минут. Через какое наименьшее время они снова встретятся?
Ответ: НОК(10, 15) = 30 минут.
- В криптографии. Алгоритмы, лежащие в основе безопасности интернета (например, RSA), активно используют свойства НОД и взаимно простых чисел.