В этой статье разберём задание 11 ВПР по математике для 8 класса — графы. Вы узнаете, что такое степень вершины, что такое ребро, познакомитесь с правилом Эйлера и научитесь быстро определять, с какой точки начинать обводить граф, не отрывая карандаша. Материал будет полезен ученикам и родителям.
Задание, где нужно обвести граф одной линией, не отрывая карандаша и не проводя по одному ребру дважды, часто вызывает трудности. На самом деле это задача с чёткими правилами, которые легко применить, если знать, что такое степень вершины и правило Эйлера.
📌 Условие задачи
Саша хочет обвести граф, изображённый на рисунке, не отрывая карандаша от листа бумаги и не проводя ни одно ребро дважды. С какой вершины Саше стоит начать обводить граф?
❗Для тех, кому трудно запомнить правила:
Посчитайте линии из каждой точки. Если только две точки имеют нечётное число линий (в нашем рисунке это A и F) — начинайте с любой из них. Всё!
📌 Важное замечание: это правило работает, только если граф — одна цельная фигура, а не распадается на отдельные кусочки. Такой граф называют «связным» — из любой вершины можно добраться до любой другой по рёбрам. В заданиях ВПР графы всегда такие.
А теперь полный разбор для тех, кто хочет разобраться глубже ⬇️
(На рисунке изображён граф с вершинами A, B, C, D, E, F, O.)
✅ Что нужно знать перед решением
1. Что такое ребро?
Ребро — это линия, которая соединяет две вершины графа. Проще говоря, это «дорожка» или «мост» между двумя точками.
2. Что такое степень вершины?
Степень вершины — это количество рёбер, выходящих из этой вершины. Проще говоря: сколько линий проведено из данной точки.
3. Правило Эйлера для обхода графа одним росчерком
Это правило отвечает на вопрос, можно ли обвести граф, не отрывая карандаша, и где начинать.
▪️ Если все степени вершин чётные → граф можно обвести, начиная с любой вершины. Маршрут будет замкнутым: начальная и конечная вершины совпадут.
▪️ Если ровно две вершины имеют нечётную степень → обвести можно, но начать нужно в одной из нечётных вершин, а закончить в другой нечётной.
▪️ Если нечётных вершин больше двух → обвести граф одним росчерком невозможно.
Почему это работает?
Когда мы проходим по графу, в каждую вершину (кроме первой и последней) мы входим по одному ребру и выходим по другому. Рёбра группируются в пары. Поэтому степень таких вершин должна быть чётной.
У первой вершины выходов на один больше, чем входов (из неё только выходим). У последней — наоборот. Поэтому их степени могут быть нечётными.
Если нечётных вершин ровно две — они и будут началом и концом. Если ноль — начало и конец совпадают. Если больше двух — противоречие, обвод невозможен.
✍ Решаем задачу
1. Считаем степени всех вершин
Посмотрим на граф и для каждой вершины посчитаем, сколько рёбер из неё выходит.
▫️ Вершина A — соединяется с B, O и C. Всего 3 ребра. Степень A = 3.
▫️ Вершина B — соединяется с A, C, O, D. Всего 4 ребра. Степень B = 4.
▫️ Вершина C — соединяется с A, B, O, E. Всего 4 ребра. Степень C = 4.
▫️ Вершина D — соединяется с B, O, E, F. Всего 4 ребра. Степень D = 4.
▫️ Вершина E — соединяется с C, O, D, F. Всего 4 ребра. Степень E = 4.
▫️ Вершина F — соединяется с D, O, E. Всего 3 ребра. Степень F = 3.
▫️ Вершина O — соединяется с A, B, C, F, D, E. Всего 6 рёбер. Степень O = 6.
2. Определяем чётные и нечётные степени
Чётные степени (делятся на 2 без остатка): 4 и 6.
Нечётные степени (не делятся на 2 без остатка): 3.
3. Применяем правило Эйлера
В графе ровно две вершины с нечётной степенью — это A и F.
По правилу Эйлера:
▫️ Если ровно две вершины имеют нечётную степень, то обвести граф одним росчерком можно.
▫️ Начинать нужно в одной из нечётных вершин, а закончить в другой.
Значит, Саша может начать обводить граф с вершины A или с вершины F. Оба варианта правильные.
Ответ: A или F.
✅ Короткая памятка (для себя и для родителей)
Если встретили задачу про обвод графа одной линией:
- Посчитайте степень каждой вершины (сколько линий выходит).
- Определите чётные и нечётные степени.
- Посчитайте количество нечётных вершин:
▫️ 0 нечётных → начинай с любой, конец = начало.
▫️ 2 нечётные → начинай с одной из них, конец в другой.
▫️ больше 2 → обвести нельзя. - Запишите ответ — назовите вершину или вершины.
📌 Вывод
Задание 11 ВПР по математике для 8 класса (графы) решается одним алгоритмом, если знать степени вершин и правило Эйлера. Никакой магии — только внимательный подсчёт и логика.
Было полезно? Поставьте 👍 и напишите в комментариях, какую тему ВПР разобрать следующей!
#ВПР2026 #ВПРматематика8класс #задание11 #графы #теорияграфов #правилоЭйлера #подготовкакВПР