Задание №16 в ОГЭ по математике — это геометрия на окружность

Задание №16 в ОГЭ по математике — это геометрия на окружность. Чаще всего спрашивают про углы: вписанные, центральные, между хордами и касательными. Ошибиться здесь легко: перепутал свойства, неправильно нашёл дугу, забыл про теорему о вписанном угле. А правило всего одно, но оно работает безотказно.

В этой статье разберём базу: что такое центральный и вписанный угол, как они связаны, и как решать задачи пошагово. Поехали.

Центральный угол

Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности. Его стороны пересекают окружность в двух точках.

Свойство: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Пример: если центральный угол ∠AOB = 50°, то и дуга AB (та, что внутри угла) тоже равна 50°.

Лайфхак: центральный угол — это как «командир»: он задаёт размер дуги напрямую.

Вписанный угол

Вписанный угол — это угол с вершиной на окружности, а его стороны пересекают окружность в двух других точках.

Важнейшее свойство (теорема о вписанном угле): вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Или, что то же самое: вписанный угол в два раза меньше центрального, если они опираются на одну и ту же дугу.

Лайфхак: запомните — «вписанный — это половинка». Увидели вписанный угол — сразу ищите дугу или центральный угол.

Связь между углами

Если центральный и вписанный угол опираются на одну и ту же дугу, то:

вписанный угол = 1/2 * центрального угла

Пример: центральный угол 80°. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, будет 40°.

И наоборот: если вписанный угол 35°, то центральный (на ту же дугу) = 70°.

Важные частные случаи

Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность), всегда равен 90°. Это следствие из теоремы: дуга = 180°, половина = 90°. Очень частая ловушка — и очень полезный факт.

Угол между хордой и касательной, проведённой через точку касания, равен половине дуги, заключённой внутри этого угла. Но про касательные — в следующей статье, а пока сосредоточимся на углах.

Пошаговый алгоритм решения

Шаг 1. Определите, какой угол дан: центральный или вписанный? Где находится вершина (в центре или на окружности)?

Шаг 2. Найдите дугу, на которую опирается угол.

· Если угол центральный — дуга равна углу.

· Если вписанный — дуга в два раза больше угла.

Шаг 3. Найдите второй угол, если нужно. Для этого определите, опирается ли он на ту же дугу (или на дугу, которую можно вычислить).

Шаг 4. Проверьте, нет ли «особого» случая: не опирается ли угол на диаметр? Тогда он точно 90°.

Шаг 5. Запишите ответ. В ОГЭ ответом обычно служит число (градусы).

Пример 1. Простая связь

Условие: На окружности отмечены точки A, B, C. Угол AOB (центральный) = 120°. Найдите угол ACB (вписанный), где точки A, B, C лежат так, что угол ACB опирается на дугу AB.

Решение:

1. Угол AOB — центральный, опирается на дугу AB. Значит, дуга AB = 120°.

2. Угол ACB — вписанный, опирается на ту же дугу AB.

3. Вписанный угол = половина дуги = 120° / 2 = 60°.

Ответ: 60°.

Пример 2. Вписанный угол через центральный

Условие: Вписанный угол MKN = 35°. Найдите центральный угол MON, который опирается на ту же дугу MN.

Решение:

1. Вписанный угол = половина дуги MN. Значит, дуга MN = 2 * 35° = 70°.

2. Центральный угол равен дуге, на которую опирается. Значит, угол MON = 70°.

Ответ: 70°.

Пример 3. Опирается на диаметр

Условие: Треугольник ABC вписан в окружность. Сторона AC — диаметр. Угол ABC = ?.

Решение:

1. AC — диаметр. Значит, дуга AC = 180° (половина окружности).

2. Угол ABC опирается на дугу AC (точка B — на окружности).

3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90°.

Ответ: 90°.

Пример 4. Два вписанных угла

Условие: На окружности взяты точки A, B, C, D. Угол ABC = 40°. Угол ADC опирается на ту же дугу AC. Найдите угол ADC.

Решение:

1. Оба угла вписанные и опираются на одну дугу AC.

2. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

3. Значит, угол ADC = углу ABC = 40°.

Ответ: 40°.

Пример 5. Смешанный тип

Условие: Центральный угол AOB = 140°. Точка C лежит на окружности так, что угол ACB — вписанный и опирается на дугу AB, но не содержащую точку O. Найдите угол ACB.