Сегодня разберем красивую геометрическую задачу. Но для начала подумайте сами над ней. Бокал чая за прекрасную математику. Готовы размяться? ☕
Задача
Задача дана в виде одного лишь рисунка. Но её можно описать словами. Есть геометрическая задача. Две окружности радиусами по 5 метров касаются прямой друг друга в одной точке. Между прямой и окружностями вписан маленький квадрат, которые касается вершинами окружностей и одним ребром лежит на прямой. Нужно найти его площадь.
📝 На этом моменте остановитесь, возьмите черновик и попробуйте решить самостоятельно без подсказок... Дальше будет решение.
Кстати, история знает немало задач, где нужно было найти максимальную фигуру, умещающуюся между другими. Самый известный пример — задача о квадратуре круга (неразрешимая с помощью циркуля и линейки).
Ближе к нашему случаю — задача о наибольшем квадрате, вписанном в полукруг, или о квадрате между двумя касающимися окружностями и прямой (как у нас). Ещё есть знаменитая задача о сосиске в теории упаковок: для 4 шаров в трёхмерном пространстве самая плотная упаковка — не шар, а «цепочка»; а для кругов на плоскости — наоборот, всегда шестиугольная решётка. Или задача Арбелоса — три полуокружности, и между ними вписываются цепочки кругов с удивительным свойством: их центры лежат на эллипсе.
Наша задача — тоже из этой серии «неожиданных зазоров». Когда два больших тела почти касаются друг друга, между ними и третьей границей иногда остаётся место для фигуры, у которой один размер значительно меньше другого. Интуиция подсказывает: там ничего не поместится или тело будет совсем маленьким.
Попробуйте решить сами, прежде чем читать разбор...
Решение:
Один из способов, который можно сразу увидеть, связан с симметрией задачи. Когда кружности одинаковые, можно взять только левую половинку рисунка, которая отрезается прямой, проходящей через точку касания окружностей и центр масс квадратика. Проведя радиус от центра до ближайшей вершины, мы получаем отрезок, на котором, как на гипотенузе, можно построить прямоугольный треугольник.
Далее к желтому треугольнику можно применить теорему Пифагора. Получим квадратное уравнение, которое даст две зависимости a(r). Одна зависимость не подходит, т.к. a > r нарушает логику задачи ( вопрос читателю: а может ли квадрат вписан так, чтобы выполнялось a > r ? ).
Далее дело в математике. Посчитаем...
Существует также и векторный способ решения данной проблемы. На мой взгляд, он здесь получается избыточно сложнее, но тоже работает. Для начала нужно сделать рисунок и обозначить координаты самых важных точек.
Далее мы можем использовать симметрию задачи и поколдовать с расстояниями от центров окружностей до вершин. Здесь работает уравнение окружности, но по сути это тоже теорема Пифагора.
Ответ получается такой же. Площадь квадрата: 4.
Понравилась статья? Дайте обратную связь в комментариях. Напишите ваше мнение, идеи, мысли 😉
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в telegram