Многие процессы и действия в природе имеют направленный характер, и для их описания в физике используют векторные величины. Любой вектор характеризуется величиной (модулем) и направлением. Для некоторых векторов в физике важна также точка приложения. Геометрически вектор изображается направленным отрезком прямой линии. В декартовой системе координат, связанной с точкой приложения, вектор полностью определяется его проекциями на оси координат, в частности, модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций.
Направление вектора определяют углы, которые он составляет с осями координат. Для определения этих углов используют, так называемые, направляющие косинусы, равные отношению проекций вектора к его модулю.
Над векторами можно производить операции сложения и вычитания. Геометрически сумма двух векторов изображается диагональю параллелограмма, построенного на складываемых векторах.
Параллелограмм состоит из двух треугольников. Поэтому сумму двух векторов можно также построить, отложив один из складываемых векторов от конца другого и соединив начало первого вектора с концом второго.
Этот способ можно обобщить на произвольное количество складываемых векторов, откладывая каждый последующий вектор от конца предыдущего. Сумма векторов равна вектору, проведенному из начала в конец построения.
Аналитически сумму n векторов можно найти, определив её проекции на оси координат как суммы соответствующих проекций складываемых векторов.
При умножении вектора на число все его проекции умножаются на это число. Если множитель положительный, то в результате умножения изменяется только модуль вектора, а направление сохраняется. Если же множитель отрицательный, то направление вектора изменяется на противоположное.
Существует два вида умножения векторов: скалярное и векторное. В результате скалярного произведения двух векторов получается число, равное произведению модулей перемножаемых векторов, умноженному на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов обладает свойством коммутативности: от перестановки перемножаемых векторов их скалярное произведение не изменяется.
В результате векторного произведения двух векторов образуется новый вектор, направленный перпендикулярно плоскости, в которой лежат перемножаемые вектора, в ту сторону, откуда поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки. Модуль векторного произведения равен произведению модулей перемножаемых векторов, умноженному на синус угла между ними.
Векторное произведение векторов не обладает свойством коммутативности: при перестановке перемножаемых векторов их векторное произведение изменяет направление на противоположное.
Некоторые сведения из векторной алгебры
В математике вектором называют упорядоченный набор чисел, записанный в виде столбца (вектор-столбец) или в виде строки (вектор-строка). В трехмерном пространстве вектор представляет собой совокупность трех чисел – проекций вектора на оси координат.
Сложение векторов:
Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных проекций:
Векторное произведение двух векторов можно представить в виде определителя третьего порядка, в котором в первой строке находятся единичные векторы (орты) системы координат, во второй строке – компоненты первого, а в третьей строке – компоненты второго вектора.
Проекции векторного произведения на оси координат определяются как множители при соответствующих ортах.