На канале Валерия Казакова разобраны решения задачи, данной под заголовком «ЕГЭ. Профиль. Всё очень просто (оригинал)».
1. В равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) вписали окружность с центром O. Точка O делит биссектрису AK угла при основании равнобедренного треугольника на отрезки AO = 33 и OK = 27. Найдите радиус окружности.
На канале приведены два способа решения задачи. Первый раз применили два раза теорему Пифагора и два раза теорему о свойстве биссектрисы угла треугольника, второй раз — формулы двойного и половинного угла. Вот итоговый кадр решения для первого способа.
Источник. ЕГЭ. Профиль. Все очень просто! (Оригинал) | Наглядная геометрия | Дзен
Мы пойдём другим путём и обойдёмся без действий с радикалами.
Решение. Проведём радиусы OM и ON в точки касания окружности со сторонами AC и BC соответственно. CM и CN по теореме о свойстве касательных, проведённых из одной точки к окружности.
Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на пересечении биссектрис, поэтому CO — биссектриса. Центр O лежит на высоте и медиане, проведённой к основанию, поэтому AM = MC.
По свойству биссектрисы угла треугольника биссектриса CO делит отрезок AK в отношении 33 : 27 = AС : СK, или AС : СK = 11 : 9. Обозначим: AС = 11x, СK = 9x. Тогда AM = MC = CN = 5,5x, а KN = 9x – 5,5x = 3,5x.
Теперь по теореме Пифагора выразим квадрат радиуса из треугольников AOM и KON:
Теорема о свойстве касательных, проведённых из одной точки к окружности, позволила упростить вычисления.