Задание №10 в базовом ЕГЭ по математике — это задача на теорию вероятностей. Нужно найти вероятность случайного события.
Задача дает 1 балл и решается по одной формуле. Главное — правильно посчитать количество благоприятных исходов и общее количество исходов.
В этой статье разберем основную формулу вероятности и типовые задачи. Сохраняйте в закладки.
1. Главная формула
Классическая вероятность: P = (количество благоприятных исходов) / (общее количество исходов)
Значение вероятности всегда от 0 (событие невозможно) до 1 (событие достоверно).
2. Типовой сценарий 1: монеты
Пример: Монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.
Решение:
Шаг 1. Находим общее количество исходов: ОО, ОР, РО, РР → 4 исхода
Шаг 2. Находим благоприятные исходы: ОР, РО → 2 исхода
Шаг 3. Вероятность: P = 2/4 = 0,5
Ответ: 0,5
3. Типовой сценарий 2: кубики (игральные кости)
Пример: Бросают два кубика. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7.
Решение:
Шаг 1. Общее количество исходов: 6·6 = 36
Шаг 2. Благоприятные исходы: (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1) → 6 исходов
Шаг 3. Вероятность: P = 6/36 = 1/6 ≈ 0,1667
Ответ: 1/6
4. Типовой сценарий 3: лотерея или выбор
Пример: В коробке 5 красных, 3 синих и 2 зелёных шара. Наугад вынимают один шар. Найдите вероятность того, что он окажется синим.
Решение:
Шаг 1. Общее количество исходов: 5 + 3 + 2 = 10
Шаг 2. Благоприятные исходы: 3 (синих шара)
Шаг 3. Вероятность: P = 3/10 = 0,3
Ответ: 0,3
5. Типовой сценарий 4: зависимые события
Пример: В коробке 10 деталей, из которых 3 бракованных. Наугад вынимают две детали подряд. Найдите вероятность того, что обе детали бракованные.
Решение:
Шаг 1. Вероятность вынуть первую бракованную: 3/10
Шаг 2. После этого осталось 9 деталей, из них 2 бракованных. Вероятность вынуть вторую бракованную: 2/9
Шаг 3. Общая вероятность (правило умножения): P = (3/10)·(2/9) = 6/90 = 1/15 ≈ 0,0667
Ответ: 1/15
6. Типичные ошибки
Ошибка 1. Неверно считают общее количество исходов
Как избежать: для двух монет — 4, для двух кубиков — 36, для выбора 2 из N — используйте комбинаторику.
Ошибка 2. Забывают про порядок
Как избежать: если исходы (1;2) и (2;1) — разные, считайте оба.
Ошибка 3. Не используют правило умножения для зависимых событий
Как избежать: при выборе без возвращения — вероятности умножаются с учетом уменьшения количества.
7. Бонус: экспресс-тренировка
1. Монету бросают 3 раза. Найдите вероятность выпадения ровно двух орлов.
2. Бросают два кубика. Найдите вероятность того, что сумма очков больше 9.
3. В коробке 4 белых и 6 чёрных шаров. Вынимают один шар. Какова вероятность вынуть белый?
Проверьте себя:
1. Всего исходов 8. Благоприятные: ООР, ОРО, РОО → 3. P = 3/8 = 0,375
2. Всего исходов 36. Благоприятные: (4;6),(5;5),(5;6),(6;4),(6;5),(6;6) → 6. P = 6/36 = 1/6
3. P = 4/10 = 0,4