Две задачи, которые решаются по одному алгоритму. Разберём их вместе – запомнишь один раз и применишь на экзамене.
P.S. Все задачи подобраны из открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ.
Необходимая теория
Для решения задач нужно:
- Знать, что вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
- Уметь доказывать подобие треугольников по двум углам.
- Составлять и решать пропорции из подобных треугольников.
Задача 1
Формулировка. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 18, а сторона AC в 1,2 раза больше стороны BC.
Чертёж. Треугольник ABC, окружность проходит через B и C, пересекает AB в точке K, AC в точке P.
Алгоритм. Докажем подобие треугольников AKP и ABC, запишем пропорциональность их сторон, выразим AC через BC, подставим в пропорциональность и вычислим KP.
Четырёхугольник PCKB вписанный -> суммы его противоположный углов равны 180° -> ∠PCB + ∠PKB = 180°. Выразим угол PCB: ∠PCB = 180° - ∠PKB.
Углы PKB и AKP смежные, т.е. в сумме тоже 180° -> ∠AKP + ∠PKB = 180°. Выразим угол AKP: ∠AKP = 180° - ∠PKB.
Таким образом, ∠PCB = ∠AKP.
Треугольники ABC и APK подобны по двум углам: ∠PCB = ∠AKP, ∠А - общий.
Запишем пропорциональность сторон: PK : BC = AP : AB = AK : AC.
Нам известны AK и соотношение AC и BC, а также нужно найти KP. Первую пропорциональность используем точно (там известная величина BC и отрезок PK, который нужно найти), вторую не используем (ничего не известно и не нужно искать), третью используем (там AK и AC, которые известны).
Выразим AС через ВС: AC = 1,2BC.
Подставим в пропорцию: PK : ВС = 18 : 1,2BC.
Раскроем пропорцию: 18BC = 1,2BC · PK.
Разделим выражение на BC: 18 = 1,2PK -> PK = 18 : 1,2 = 15.
Ответ: длина отрезка KP равна 15.
Задача 2
Формулировка. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 34, а сторона BC в 2 раза меньше стороны AB.
Чертёж и начало решения аналогичны. Перейдём сразу к моменту записи пропорциональности сторон.
Запишем пропорциональность сторон: PK : BC = AP : AB = AK : AC.
Нам известны AP и соотношение AB и BC, а также нужно найти KP. Первую пропорциональность используем точно (там известная BC и отрезок PK, который нужно найти), вторую используем (там AP и AB, которые известны), третью не используем (ничего не известно и не нужно искать).
Выразим AB через BC: AB = 2BC.
Подставим в пропорцию: PK : ВС = 34 : 2BC.
Раскроем пропорцию: 34BC = 2BC · PK.
Разделим выражение на BC: 34 = 2PK -> PK = 34 : 2 = 17.
Ответ: длина отрезка KP равна 17.
✅ Самопроверка с ответами
Задача 1. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 14, а сторона AC в 2 раза больше стороны BC.
Промежуточные вычисления: AC = 2BC.
Ответ: длина отрезка PK равна 7.
Задача 2. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 30, а сторона BC в 1,2 раза меньше стороны AB.
Промежуточные вычисления: AB = 1,2BC.
Ответ: длина отрезка PK равна 25.
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Насколько эта задача показалась сложной?
✅ Самое надёжное — не зубрёжка, а понимание.
📌 Дальше — постепенный разбор задач задания 23:
👉 Подборка всех задач задания 23 - здесь.
📌 Хотите ещё геометрии?
👉 Разбор 1 части задания 15 - здесь.
👉 Разбор всех типов задания 16 - здесь.
👉 Разбор 1 части задания 17 - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.